Parametrizar

2.2. Parametrización de superficies explicitas e implícitas.
Las superficies S pueden estar dadas también de manera explicita o implicita en ℜ3 . Cuando una superficie está dada de manera que unconjunto de puntos

( x, y , z )

satisfacen la ecuación F ( x, y, z ) = 0 , se dice que la superficie está representada en forma implícita. Si de esta ecuación podemos despejar una de las variablesen función de las otras dos, por ejemplo, z = f ( x, y ) , entonces se dice que la superficie esta dada en forma explicita. Para realizar la parametrización de una superficie que esté dada de maneraexplicita de las formas x = f ( y, z ) , y = f ( x, z ) ó z = f ( x, y ) , se puede utilizar como referencia la expresión genérica que se presentan en la Tabla 2.
Tabla 2. Parametrización de unaSuperficie dada de forma explicita.

Superficie Explicita S

Parametrización de la Superficie S

z = f ( x, y )

 u   x     g : ℜ → ℜ / g ( u, v ) =  v  =  y  ,  f ( u, v )   z    
2 3

con a ≤ u ≤ b y c ≤ v ≤ d
Fuente: Propia.

Para las superficies dadas de manera implícita se puede recurrir a la representación de este tipo de superficies en coordenadas cilíndricas,coordenadas esféricas, u otro tipo de parametrización conveniente; algunas de las parametrizaciones más utilizadas se muestran en la Tabla 3, aunque cabe señalar que no es la única parametrización quese puede realizar de las superficies a las cuales se hace referencia.

Tabla 3. Parametrización de Superficies dadas de Forma Implícita.

Cono

z 2 = x2 + y2

 r cos (θ )   x    g : ℜ2→ ℜ3 / g ( r ,θ ) =  rsen (θ )  =  y  , con    r  z    
r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ ) y 0 ≤ θ ≤ 2π

Cilindro

x2 + y 2 = a2

 asen (θ )   x    g : ℜ → ℜ / g ( z ,θ ) =  a cos (θ ) =  y  , con     z z    
2 3

0 ≤ θ ≤ 2π y z1 ≤ z ≤ z2
Tabla 3. (Continuación)

Esfera

x2 + y 2 + z 2 = a2

 a s en (ϕ ) cos (θ )   x    g : ℜ → ℜ / g (θ , ϕ ) =  a s...