parcial algebra 2 fiuba

FACULTAD DE INGENIERIA-UBA
ALGEBRA II. Segundo cuatrimestre de 2013
EXAMEN PARCIAL
19 de octubre de 2013(Segunda oportunidad)
TEMA 1
Apellido y nombres:. . . . . . . . . . . .
N´
umero depadr´
on: . . . . . . . . . . . .

Curso:. . . . . . . . .

Justifique todas las respuestas. Numere las hojas y firme al final del examen.
El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios1. Decidir si es verdadero o falso.
(a) No existen

S : R2 → R3 y

T : R3 → R2

transformaciones lineales tales que SoT es inversible.

(b) Dados S1 , S2 , S3 subespacios de Vk espaciovectorial, si S1 ∩ S2 = S1 ∩ S3 = S2 ∩ S3 = {¯0} y
S1 ∩ S2 ∩ S3 = {¯
0} ⇒ S1 + S2 + S3 = S1 ⊕ S2 ⊕ S3
Rta:
(a) V. Si existieran tales S y T , entonces R3 = Im(SoT ) ⊆ Im(S). Pero dim(N u(S))+dim(Im(S))= 2.
Entonces dim(Im(S)) ≤ 2. Absurdo.
(b) F. Por ejemplo: Vk = R2 . S1 = gen{(1

0)T }, S2 = gen{(0

1)T }, S3 = gen{(1

1)T }.

2. Sea P ∈ R3×3 una matriz de proyecci´
on.
Encuentre P =O tal que gen{(1 1 0)T } ⊆ Col(P 2 − 2P + I) y tal que ∃β ∈ R de modo que
P (1 0 1)T = (β 0 β)T
Rta:
Se tiene que P 2 −2P +I = P −2P +I = −P +I, que es la matriz de proyecci´on sobre Col(P )⊥ = Nul(P ).
Entonces (1 1 0)T ∈ N ul(P ). Ahora, como P (1 0 1)T − (1 0 1)T ⊥ P (1 0 1)T ,
tenemos: (β − 1 0 β − 1) ⊥ (β 0 β). O sea: 2β(1 − β) = 0. As´ı: β = 0 ´o β = 1.
Si β = 1, resulta: (1 0 1)T =P (1
cual no es cierto. Luego: β = 0.

0

1)T ∈ Col(P ). Pero entonces (1

0

1)T ⊥ (1

1

0), lo

Esto es: P (1 0 1)T = 0, y por lo tanto: gen{(1 1 0)T , (1 0 1)T } ⊆ N ul(P ). Perocomo P = O,
necesariamente: gen{(1 1 0)T , (1 0 1)T } = N ul(P ). De modo que Col(P ) = gen{(1 − 1 − 1)} y
obtenemos P como:




1
1 −1 −1
1
1
−1  · (1 − 1 − 1) =  −1 1
1 .
P =
33
−1
−1 1
1

3. Sea T : P1 → P1 tal que T (p(t)) = kp(1)t + p(2)

(a) Probar que T es lineal ∀k ∈ R

√
(b) Tomando B = {t, 1 + t} base de P1 , calcular k de modo que d([T ]B , S) = 2 con...