Parcial algebra

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E-mail:dsolarte@ujap.edu.ve

Universidad de Carabobo Asignatura: Álgebra Lineal Apellidos y Nombres: ______________________________C.I:_______________ Sección: 10 Fecha: 27/02/08 Modelo de Prueba: MA2B04-3P-A-II-2007 Prueba Escrita No.3, Peso Asignado: 25%
1. Dada la transformación lineal

característicos están dados por los vectoresde la base β = {(0,1, 0), (1, 0,1), (−1, 0,1)} ;
su respuesta.

, definida por: φ (x ) = M (φ )x . Suponga que la matriz asociada a φ , tiene como valores propios a λ1 = λ2 = 2, y λ3 = −2, y que susvectores

φ:

3

→

3

a) Obtenga la matriz Μ(φ ) de la transformación, b) ¿Es φ ( x, y, z ) un isomorfismo? Justifique
(4 Puntos)

2. Sea φ :

4

→ P 2 ( x), una transformaciónlineal, definida por:

φ ( a , b, c , d ) = a − c + d + ( − a + b − 2 d ) x + ( − b + c + d ) x 2
Determine: a) Núcleo e Imagen (Recorrido) de φ , b) Nulidad y rango de φ , c) Bases para el núcleo eimagen. 3. Considere la base B = {(1, 0, 0), (1, 0,1), (0,1,1)} para el espacio vectorial
3

(4 Puntos)

y sea φ :

3

→

3

una transformación lineal, tal que φ (1, 0, 0) = (1, 0, 0), φ(1, 0,1) = (2, −2, 2), y φ (0,1,1) = (1, −1, 2). Obtenga: a) Los vectores propios de Μ(φ ), b) ¿Es Μ(φ ) diagonalizable? Justifique muy bien su respuesta. 4. Dada la transformación lineal :
(5 Puntos)φ (x) = M (φ )x
 1 2 −1 M (φ ) =  1 0 1  ,    4 −4 5     x   x =  y , z  
(4 Puntos)

donde

Obtenga la matriz P que diagonaliza a M (φ ). 5. Sea T :
2

→ M2×2 , unatransformación lineal. Si el núcleo de T está dado por el conjunto:

Ker (T ) = {(a, b) ∈

2

/ 2a − b = 0; − 3a + b = 0; a − b = 0}

Determine: a) Nulidad y rango de T , b) Base para el núcleo,c) ¿Es T inyectiva? Justifique su respuesta.
(3 Puntos)

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