Parcial Calculo 2

Noviembre 2010
7 a.m.

CÁLCULO II INGENIERÍA

PARCIAL N°2

1. Calcular la siguiente integral:

a. [pic]

SOLUCIÓN PREGUNTA 1(a) (7:00 am.) [ejercicio 52.6 de EJER-PLOS 2]

Sea:

[pic]

Sea: [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Conclusión: [pic]

[2 ptos.]

1. Calcular la siguiente integral:

b. [pic]

SOLUCIÓNPREGUNTA 1(b) (7:00 am.)

Sea:
[pic]

[pic][pic]

Sea: [pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[3 ptos.]
2. Considera la región ( limitada por la curva: [pic] y las rectas [pic]y y = 1, con “x” e “y” medidos en metros.

Calcula el volumen del sólido generado al rotar ( alrededor de la recta x = 3 por dos vias:

a. Haciendo uso delmétodo de las arandelas
b. Haciendo uso del método de los casquillos

Compara los resultados.

NOTA: Trace la recta utilizando los cortes con los ejes y observe en la gráfica los puntos de intersección.

SOLUCIÓN PREGUNTA 2 (7:00 am.)

Parte (a)

La gráfica de la región a rotar y los diversos elementos relacionados con el método de las arandelas se presenta a continuación.

[1pto. dibujar región]

Se considerará:

[pic]

[pic]

Partición de “n” subintervalos para [pic]

Ancho de cada subintervalo: ∆y

Puntos muestra: Puntos medios de c/subintervalo ([pic])

Por lo cual, el volumen de la arandela # i es:

[pic]

Por lo tanto, el volumen “V” del sólido está dado por:

[pic]

[pic]

[pic]

[2 ptos. plantear integral]Dada la continuidad de la función a integrar, es posible aplicar el T.F.C., así:

[pic]

[pic]

Conclusión:

El volumen del sólido generado al rotar ( alrededor de la recta x = 3 es aproximadamente 14 m3

[2 pto. cálculo de la integral]

Parte (b)

La gráfica de la región a rotar y los diversos elementos relacionados con el método de los casquillos se presenta a continuación:Sea:
[pic]

[pic]

Caso 1:
Se considerará:
Partición de “n” subintervalos para [pic]

Ancho de cada subintervalo: ∆x

Puntos muestra: [pic] (Puntos medios de c/subintervalo - optativo)

Por lo cual, el volumen del casquillo # i es:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Caso 2:
Se considerará:
Partición de “N” subintervalos para [pic]Ancho de cada subintervalo: ∆x
Puntos muestra: [pic] (Puntos medios de c/subintervalo - optativo)

Por lo cual, el volumen del casquillo # i es:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Y así, el volumen del sólido es:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Dada la continuidad de las funciones a integrar, es posible la aplicación delTeorema fundamental del Cálculo, así:

Sea: [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Conclusión:

El volumen del sólido generado al rotar ( alrededor de la recta x = 3 es aproximadamente 14 m3

[2 ptos. cada uno de los casos completo]

Total: 9 ptos.
3. En medio del golfo de Venezuela un tanquero petrolero lleno de combustible tiene unaccidente en sus depósitos contenedores, ocurriendo un escape considerable del contaminante líquido.

Los expertos han determinado que la mancha crece de forma circular y de modo que a “x” kilómetros del punto de la fuga ésta se expande liberando:

[pic]
a. Plantear la integral que permite calcular la cantidad de petróleo que se habrá derramado si la mancha tiene un radio de 2 km.Justificar de dónde proviene dicha integral, indicando el intervalo a particionar y el significado de cada uno de los factores que conforman la suma de Riemann respectiva según el contexto.

b. Obtener la cantidad de petróleo que se habrá derramado si la mancha tiene un radio de 2 km. haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo.

SOLUCIÓN PREGUNTA 3 (7:00 am.) [variante del...