parcial

´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
ANALISIS
VECTORIAL Y TENSORIAL
PARCIAL 1
vis´ıtanos en samueltomassam.blogspot.com
16 Abril 2014
Carreras civil - f´ısica
→
→
1. Sea P1 , P2 dos puntosfijos en el plano y −
r1 , −
r2 sus respectivos vectores posici´on respecto
→
→
de un origen O. Mostrar que la ecuaci´on vectorial a1 −
r1 + a2 −
r2 = 0 con la condici´on
a1 + a2 = 0 sigue siendovalido respecto de otro origen cualquiera O ∗ (Es decir, mostrar
→
−
→
−
→ −
−
→
que a1 r1∗ + a2 r2∗ = 0. Donde r1∗ , r2∗ son los vectores posici´on de los puntos respecto del
origen O ∗).
→−
−
→
→
r1 = −
v + r1∗
→
−
→
−
→
r2 = −
v + r2∗
entonces

→
−
→
−
→
→
→
→
a1 −
r1 + a2 −
r2 = a1 (−
v + r1∗ ) + a2 (−
v + r2∗ )
→
−
→
−
→
→
→
a1 −
r1 + a2 −
r2 =(a1 + a2 )−
v + a1 r1∗ + a2 r2∗ = 0

Por lo tanto se concluye que
→
−
→
−
a1 r1∗ + a2 r2∗ = 0.
Respecto al origen O ∗
2. Los vectores M = (−4, 4, 4) y N = (−4, −4, 4) son los vectoresdiagonales de un paralelogramo.
a) Hallar la longitud del per´ımetro de dicho paralelogramo.
b) Hallar el valor del ´area de dicho paralelogramo.

1

Consid´erese el vector M = (−4, 4, 4) encontremosel punto medio P = (−2, 2, 2)
donde P = M2 . Encontremos el punto Q = P + 12 N es decir, Q = (−2, 2, 2) +
1
(−4, −4, 4) = (−4, 0, 4) Ahora encontremos el otro v´ertice del paralelogramo R
2
√
√R = (−2, 2, 2) − 12 (−4, −4, 4) = (0, 4, 0) adem´as |Q| = 42 + 42 = 4 2 y |R| = 4
√
as´ı tenemos el per´ımetro del paralelogramo P = 8 2 + 8.
√
El ´area ser´a |Q × R| = 16 2.

otro m´etodoadecuado para este problema es:
Sea A y B los lados del paralelogramo talque A + B = N y A − B = M de
esto tenemos 2A = M + N = (−4, 4, 4) + (−4, −4, 4)
√ entonces A =
√ = (−8, 0, 8)
2
2
(−4, 0,4), y por consiguiente
B = (0, −4, 0)
√
√y |A| = 4 + 4 = 4 2, |B| = 4 por
lo tanto P = 8 + 8 2 y ´area |A × B| = 16 2.
1

visitanos en samueltomassam.blogspot.com

1

− − →
→
− →
− →...