Parcial2Sol

Universidad Aut´
onoma de Madrid

Viernes 16 de marzo de 2007

´
Examen parcial: Algebra
II
Apellidos:
D.N.I.:

Nombre:
Grupo:

IMPORTANTE: Justifica todas tus respuestas.
√
1. Sea A el anillo Z[ −2].
√
(a) (2 puntos) Decide razonadamente si 1 + 3 −2. es un ideal maximal en A.
√
Como A es un dominio de ideales principales (ya que es dominio eucl´ıdeo con la norma N (a + b −2) =
a2 + 2b2 ), paraprobar que un ideal es maximal es suficiente con demostrar que est´a generado por un
elemento irreducible.
√
√
√
Como N (1 + 3 −2) = 19 es primo, necesariamente 1 + 3 −2 es irreducible, y por tanto 1 + 3 −2.
es maximal.
Errores t´ıpicos: Hay elementos irreducibles cuya norma no es un n´
umero primo, de modo que esta
propiedad no caracteriza a los elementos irreducibles (por ejemplo, N (5) = 25 pero5 es irreducible en
A). Lo que s´ı es cierto es que si la norma de un elemento es un n´
umero primo entonces el elemento es
irreducible,√y esto es as´ı incluso si el dominio del que se trate no es un dominio eucl´ıdeo (por ejemplo
explorar Z[ −3]).
√
√
Para demostrar que 1 + 3 −2. es maximal no basta con demostrar que 1 + 3 −2 es irreducible. Hay
que observar adem´as que A es un dominio deideales principales (dado que es un dominio eucl´ıdeo con
la norma arriba indicada), y que en un DIP los ideales maximales est´an generados por irreducibles. Este
punto es fundamental, porque sobre un anillo que no sea DIP puede haber elementos irreducibles que no
generen ideales maximales (por ejemplo x es irreducible en Z[x] pero no genera un ideal maximal).
En un dominio euc´ıdeo no todo ideal primoes maximal. Por ejemplo en Z el ideal (0) es primo pero no
maximal. Lo que s´ı es cierto es que un elemento es irreducible si y s´olo si es primo y que todo irreducible
(y por tanto todo elemento primo) genera un ideal maximal (observad que el elemento 0 no es primo ni
irreducible por definici´on, pero genera un ideal primo).
(b) (4 puntos) Escribe 3 como producto de irreducibles en A.
Como N (3)= 9 si queremos escribirlo como producto de irreducibles √
necesitamos buscar elementos
que en A √
tengan norma
√ 3. Esto nos conduce a elementos de la forma ±1 ± −2, de donde deducimos que
3 = (1 + −2)(1 − −2). Cada uno de estos factores es irreducible porque tiene norma 3 que es primo.
Adem´as esta factorizaci´on es u
´nica salvo el orden de los factores y producto por invertibles porque A esDFU (al ser DIP).

√
(c) (4 puntos) Encuentra un generador para el ideal 3, −1 + 2 −2 .
√
El ideal 3, −1+2 −2 est´a generado por el m´aximo com´
un divisor de sus generadores. Para calcularlo
podemos proceder de dos modos:
a)√Aplicando√el Algoritmo de
√ Euclides:
3 = (√−2(1 − 2 −2)
√ + (−1 −√ −2),
1 − 2 −2 = −(1 + −2)(1 +√ −2) + 0, √
√
√
por lo tanto m.c.d.(3, −1 + 2 −2) = 1 + −2, y comoconsecuencia, 3, −1 + 2 −2 = 1 + −2 .
b) Factorizando
como producto de irreducibles:
√
√
3 = (1 +
−2)(1
−
√−2),2
√
−1 + 2 −2 = (1 + −2) , √
√
√
√
por lo tanto m.c.d.(3, −1 + 2 −2) = 1 + −2, y como consecuencia, 3, −1 + 2 −2 = 1 + −2 .

2. Decide razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

(a) (3 puntos) En Z[x] todo elemento irreducible genera un ideal maximal.
Falso: Un elementoirreducible en un dominio de integridad es un elemento p, tal que si p se factoriza
como producto p = ab, a o b es inversible. Los elementos inversibles de Z[x] son polinomios ±1. Por lo
tanto 2 no es inversible y como en cualquier factorizaci´on de 2 est´a 1 o −1, 2 es un elemento irreducible
en Z[x]. Por otro lado, el ideal generado por 2 no es maximal (por ejemplo, est´a contenido propiamenteen el ideal generado por 2 y x).
Errores t´ıpicos: Z[x] no es un dominio eucl´ıdeo. En la teor´ıa hemos visto que los anillos de polinomios
sobre cuerpos son dominios eucl´ıdeos. Pero Z no es un cuerpo.

(b) (3 puntos) Sea K un cuerpo y sea f : Z → K un homomorfismo sobreyectivo. Entonces K
alg´
un primo p ∈ Z.

Fp para

Verdadero: Por el primer teorema de Isomorf´ıa
K = Imf ∼
= Z/Kerf.
Por lo...