Parte I1

Parte I. Series y Aplicaciones.

1. Determine el valor de convergencia de la siguiente serie:


Utilizando el software en línea WolframAlpha calculamos el valor de convergencia de la serie dada,como podemos observar Wolfram usa el método de fracciones parciales.

Para calcular el valor exacto de convergencia se uso el criterio de comparación, por lo tanto la serie es convergente y converge a:
Para especificar los procedimientos realizados mostramos la captura de pantalla

2. La imagen adjunta presenta 2 círculos (C y D) cuyo radio es 1 u y que se tocan en el punto P. En tanto que T esuna tangente común; C1 es el circulo que toca a C, a D y a T; C2 es el circulo que toca C, D y C1; C3 es el circulo que toca C, D y C2. Este proceso podría seguir en forma indefinida y producir unasucesión infinita de círculos.

Figura 1. Problema 2, parte de Series y Aplicaciones
a) Determine una expresión para el diámetro Ck.
Hacemos una relación desde el radio con los círculos más grandes:Primera expresión:
Radio=1




Segunda expresión:






Logramos ver un patrón:

Despejamos para RK N-simo:

Sea esta expresión :

b) Demuestre que el valor exacto de la suma de los diámetros Ck esigual al radio de cualquiera de los círculos (C o D).


Generamos una telescópica:

La Desarrollamos:


Si eliminamos términos parecidos obtenemos:


Calculando el límite


3. Para la función  alrededorde 
Determine la serie de Taylor asociada a .
Para poder generar la serie de Taylor debemos evaluar las derivadas evaluadas en  así:
 
 
 
 
 
De dondepor fórmula tenemos que: 
Siendo 
Entonces la serie de Taylor centrada en  generada por  es:
=
Determine el error en la estimación de  al utilizar el polinomio de grado 5.

Tomamos comofunción  y consideramos:
  Centrada en 
Encontramos el polinomio grado 5 para poder encontrar el error en la estimación así:



Consideramos también...