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Páginas: 3 (703 palabras) Publicado: 11 de septiembre de 2013
Usando el algoritmo de Euclides[editar · editar fuente]
Artículo principal: Algoritmo de Euclides.
Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división juntoal hecho que el mcd de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño. Por ejemplo, si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el mcdserá por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:
\operatorname{mcd}(a,0) = a\operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b,a - b \left\lfloor {a \over b} \right\rfloor).
Usando el mínimo común múltiplo[editar · editar fuente]
El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimocomún múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b:\operatorname{mcd}(a,b) =
\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCM}(a,b)}
MCD de tres o más números[editar · editar fuente]
El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: \\operatorname{mcd}(a,b,c) = \operatorname{mcd}(a, \operatorname{mcd}(b,c)) , aunque hay métodos más prácticos y sencillos.
Propiedades[editar · editar fuente]

1. Si \ \operatorname{mcd}(a,b)=d entonces \\operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1
2. Si \ m es un entero, \ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)
3. Si \ p es un número primo, entonces \\operatorname{mcd}(p,m)=p o bien \ \operatorname{mcd}(m,p)=1
4. Si d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1, entonces \ d=d'
5. Si \ d' es un divisor común de \ m y \ n,entonces d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)
6. Si \ m=nq+r, entonces \operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)
7. Si \ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots...
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