particula con coordenadas polares

¿Cómo se describe el movimiento de una partícula a lo largo de una curva con coordenadas polares? presentar la deducción matemática.

Se considera que las coordenadas polares son útiles para describir el movimiento de una partícula,. Estas coordenadas son la distancia al origen del sistema de referencia (ρ) y el ángulo que forma el vector de posición con el eje OX  y se relacionan con lascoordenadas cartesianas y sus inversas.




Las coordenadas polares tienen una base vectorial donde apunta respectivamente en la direccion radical (varia ρ) y acimutal (varia). Esta base se relaciona con la canónica por el cambio de base y su inversa.


        

         


Los vectores unitarios en polares dependen de la posición. El vector  en un punto es diferentedel vector en otro. Debido a que hay que tener un cuidado infinito cuando se operaran con vectores en coordenadas polares.
Cuando consideramos el movimiento de una partícula, su posición y los vectores de la base en polares, son funciones del tiempo. Así que, cuando haya una derivada o una integral, se tienen en cuenta. Sus derivadas respecto del tiempo corresponden a

Deducir las ecuaciones demovimiento, velocidad y aceleración de una partícula en coordenadas cilíndricas.
Cuando una partícula tiene a lo largo de las direcciones de los vectores unitarios , es decir, componentes o coordenadas cilíndricas,; las ecuaciones pueden expresarse de esta manera:

MOVIMIENTO


Para satisfacer la ecuación los componentes de del lado izquierdo deben igualar a los componentes del ladoderecho.
VELOCIDAD





ACELERACION







Explicar por qué se afirma que los planetas se mueven en planos. Presentar una deducción matemática
los movimientos de los planetas fueron en primera instancia descubiertos por Johannes Kepler, el había establecido que los planetas del sistema solar se movían en órbitas elípticas, esto fue poco antes que Isaac Newton dedujera la teoría de lagravedad universal, pero esas circunstancias no impide que hayan órbitas de otro tipo como circulares, parabólicas e hiperbólicas como se muestra en la siguiente imagen:

Kepler estableció una serie de reglas para el movimiento elíptico de los planetas conocidas como "Leyes de Kepler" las cuales son:
Primera ley: "los planetas se desplazan en órbitas elípticas alrededor del sol que está en unode los focos", para la deducción de esta primera ley se comienza con la ley de gravitación universal de Newton, porque se va a estudiar la interacción entre dos cuerpos (sol y planeta).

Ley de gravitación universal
segunda ley del movimiento de Newton
Masa solar
Masa del planeta
Distancia del planeta al sol

Se puedeescribir la fuerza de gravedad sobre el planeta de forma escalar y vectorial:



donde:

Vector unitario paralelo a r(t)
Vector posición (ecuación vectorial en función del tiempo)

al momento de igual ecuaciones se obtiene que:




Al ser la aceleración paralela al vector posición y al vector unitario se puede demostrar que la órbita es una curva plana, cuando sehaya la derivada del producto vectorial entre aceleración y velocidad del planeta e igual a cero "0" por lo cual es una constante. Entonces se sabe que al multiplicar de forma vectorial el vector velocidad y el vector posición va a dar el mismo resultado.
Para la ecuación de la órbita se tiene que:


Al trabajar en esa ecuación se obtiene que:



Esta ecuación es multiplicada por elvector aceleración y con el cual después se hará el triple producto vectorial:


Al igualar esas dos formas vectoriales e integrar se obtiene que:



Donde c es la constante de integración o vector constante.

En la grafica se observa que el resultado del producto vectorial se encuentra en el mismo plano que el vector unitario.
Después se toma la ultima ecuación que fue integrada y se...