PAS Cálculo 1 2014 02 1

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia. Departamento de Matemática y C.C.
Asignatura: Cálculo I, Módulo Básico Ingeniería
Segundo Semestre 2014. Prueba PAS
Pauta de Corrección
Problema1.a)
b)

Sea f (x) = x2 sec

1
, determine f 0(x) , y reduzca a su mínima
x

expresión.
Si y = y(x) calcule y0(x), si es que existe, en el punto ( ; 3 =4) de

sen(x) = x(1 + tgy)
Solución
a) Sea f (x)= x2 sec

1
x

f (x)

=

2x sec

f (x)

=

sec

1
x

1
x

1
x

+ x2 sec
2x

tg

tg

1
x

1
x2

1
x

.............................................................1,0 ptos
b) Sea

senx = x(1 + tgy)Derivando implicítamente se tiene

d
d
(senx) =
(x(1 + tgy))
dx
dx
cosx = 1 (1 + tgy) + x sec2 y y 0
x sec2 y y 0 = cos x 1 tgy
cos x 1 tgy
y 0 (x) =
x sec2 y................................................................0,5 ptos
Evaluemos esta derivada en el punto
; 34 :

y0 ( )

=
=

y0 ( )

=

y0 ( )

=

cos

1 tg
sec2 34
1 1 ( 1)
3
sec2
4

1

2

3
4

cos2

1
2
1

3
4

=

p !2
2
2

L
A

Fab

xD

W

T.
E.
.........................................................................0,5 ptos
Problema 2.Una central termoeléctrica está situada en la ribera de un río que tiene W metro
de ancho.Asimismo, una fábrica está ubicada en la ribera opuesta del río, L metro río
abajo del punto A, que está enfrente de la central. ¿Cuál es el trazado que produce
el costo mínimo para conectar un cabledesde la central hasta la fábrica, si cuesta a
pesos por metro tender el cable bajo el agua y b pesos por metro hacer el tendido en
tierra (a > b)? Justi…que su respuesta.
Solución
p
Costo bajo el agua =a distancia bajo agua = a w2 + x2
Costo por tierra= b distancia por tierra = b(L x)
Entonces , el costo total del tendido del cable, es

p
C(x) = a w2 + x2 +b(L

x)..................................................0,5 Ptos
Determinemos la longitud del trazado que minimiza el costo del tendido

C 0 (x)

=

C 0 (x)

=

ax = b
a2 x2

b2 x2

a 2x
p
+ ( 1) b
2 w2 + x2
a x
0 =) p
b=0
w2 + x2
p

w2 +...