PATRICIA PEREZ ORTIZ01

ISSN 1988-6047

DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 23 – OCTUBRE DE 2009

“RESOLUCIÓN DE ALGUNOS PROBLEMAS
ALGEBRAICOS SIN ECUACIONES”
AUTORÍA
PATRICIA PÉREZ ORTIZ
TEMÁTICA
INVESTIGACIÓN SOBRE LA EDUCACIÓN EN MATEMÁTICAS
ETAPA
ESO

Resumen
Se propone una colección de problemas con una estructura análoga. Todos ellos son resueltos
siguiendo un mismo algoritmo prealgebraico basado en la respuesta acuestiones formuladas
verbalmente. Podría ser un primer paso en la elaboración de colecciones de problemas que sirvieran de
iniciación al álgebra.
Palabras clave
Álgebra, problemas análogos.
1. INTRODUCCIÓN Y CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS
Los libros de matemáticas para ESO contienen muchos problemas y actividades a fin de que el alumno
se ejercite en la utilización de incógnitas, las famosas ‘x’ e ‘y’,así como en el planteamiento y resolución
de ecuaciones. Sin embargo muchos de estos problemas pueden resolverse de forma más “natural” sin
necesidad del álgebra. Estimular esta forma de resolución suele llevar a descubrir semejanzas,
estructuras que se repiten, esquemas implícitos, campos de problemas análogos. Sería oportuno
analizar sus diferentes estructuras a fin de que aquellos que posean unaestructura análoga puedan
considerarse como casos particulares de un mismo modelo, así como elaborar colecciones de
problemas análogos.
En el presente trabajo se han reunido algunos problemas que usualmente se resuelven mediante
incógnitas. Aquí se han resuelto sin recurrir al álgebra, poniendo de relieve la analogía que subyace en
ellos, a fin de poder invitar a los alumnos a descubrir suidéntica estructura. Un mismo formulario con
unas sencillas cuestiones que utilizan las operaciones elementales, suma, resta, multiplicación y
división, servirá de guía.

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DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 23 – OCTUBRE DE 2009

Algunos de los problemas, en concreto los dos primeros, se refieren a conjuntos con un número
pequeñode elementos a fin de que puedan resolverse fácilmente de modo gráfico. El primero habla de
8 mesas y el segundo de 10 monedas. Los dos problemas son resueltos primero apoyándose en el
dibujo y después respondiendo a unas sencillas cuestiones numéricas. A continuación se proponen
idénticos problemas incrementando el número de elementos de forma que adquiera primacía el
razonamiento verbal.
Todoslos problemas aluden a objetos de dos tipos, mesas de 3 y 4 patas, monedas de 20 y 50
céntimos, conejos y gallinas que se venden a distintos precios etc. Y proporcionan dos totales: el de
objetos (mesas, monedas, animales…) y el que alude al tipo que permite la clasificación (patas, valor,
importe de la venta…). El problema se da por resuelto cuando se averigua cuántos objetos hay de cada
uno de lostipos.
La técnica que se emplea en la resolución de estos problemas consiste en una mezcla de lo que suele
llamarse reducción a casos más sencillos (“y si todos los objetos fueran del mismo tipo”) y método del
ensayo y error (“algunos de los objetos anteriores se cambian de tipo a fin de hacer encajar los datos
del problema”). La suposición de que todos los objetos sean del mismo tipo puedepracticarse por
defecto (tomando el tipo inferior) o por exceso (suponiendo que todos los objetos son del tipo superior).
En ambos supuestos la técnica es similar.
En todos los ejemplos propuestos se ha empleado la suposición inicial por defecto. Así por ejemplo si
hay mesas de 3 y 4 patas, en la hipótesis de partida se ha supuesto que todas son de 3 patas. El
profesor/alumno puede adoptar lasuposición por exceso, o si lo prefiere hace uso de ambas.
Los problemas se han ordenado atendiendo a su mayor nivel de dificultad, según hagan uso sólo de los
números naturales o también de los números decimales, por la mayor dificultad que en éstos entraña el
dominio de las estructuras multiplicativas.
2. PROBLEMA 1
Enunciado:
En una casa hay 8 mesas en total. Algunas de ellas tienen 4 patas y las...