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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
El examen consta de 3 Bloques. Cada bloque tiene dos opciones: a y b. El alumno ha de resolver
los tres bloques, permitiéndosele elegir en cada bloque solo una de las dos opciones. Cada bloque
que resuelva lo identificará según los ejemplos: si resuelve el bloque 3 la opción b, la parte
correspondiente a este ejercicio estaráencabezada por la siguiente expresión: bloque 3-b; si
resuelve del bloque 1 la opción a, la parte correspondiente a este ejercicio estará encabezada por
la siguiente expresión: bloque 1-a. El orden de resolución de los bloques es a elección del alumno.
El primer y segundo bloque se valorará hasta 3.5 y el tercero hasta 3.
Bloque 1 (3,5 puntos)
1-a Un fabricante de coches lanza una ofertaespecial en dos de sus modelos, ofreciendo el
modelo A a un precio de 9000 euros y el modelo B un tercio más caro. La oferta está limitada: por
las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B y por el deseo de vender al menos
tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta
campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 36000euros.
1. ¿Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?
2. ¿Cuál es el importe de la venta?
Solución:

x = nº de coches del mod elo A
y = n º de coches del modelo B
f ( x, y ) = 9000 x + 12000 y
⎧ x ≤ 20
⎧ x ≤ 20
⎪ y ≤ 10
⎪ y ≤ 10
⎪
⎪
⇒⎨
⎨
⎪y ≤ x
⎪y ≤ x
⎪9000 x + 12000 y ≥ 36000 ⎪3 x + 4 y ≥ 12
⎩
⎩

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Calculamos los vértices y valoramosla función objetivo en cada uno:

A(0, 3) ⇒ f (0, 3) = 36000
B (0,10) ⇒ f (0,10) = 120000
C (10,10) ⇒ f (10,10) = 210000
⎧x = y
⎛ 12 12 ⎞
⎛ 12 12 ⎞
⇒ D ⎜ , ⎟ ⇒ f ⎜ , ⎟ = 36000
⎨
⎝7 7⎠
⎝7 7⎠
⎩3x + 4 y = 12
El ingreso máximo se alcanza en C (10,10) y es 210000 euros
1-b Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 19152 euros. La última
versión del videojuegoha salido a la venta por un importe de 36 euros. Además de la última
versión ha vendido, con un descuento del 30% y del 40%, otras dos versiones anteriores del
videojuego. El número total de ejemplares vendidos de las dos versiones anteriores ha sido la
mitad del de la última versión.
¿Cuántos ejemplares vendió de cada versión?
Solución:

x = ejemplares de la 1ª versión
y = ejemplares dela 2ª versión
z = ejemplares de la 3ª versión
⎧
⎪ x + y + z = 600
⎧ x + y + z = 600
⎪
70
60
⎪
⎪
x + 36 ⋅
y + 36 z = 19152 ⇒ ⎨7 x + 6 y + 10 z = 5320 ⇒ x = 120; y = 80; z = 400
⎨36 ⋅
100
100
⎪
⎪2 x + 2 y − z = 0
⎩
z
⎪
x+ y =
⎪
2
⎩

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Bloque 2 (3,5 puntos)
2-a Sea la función f ( x ) =

x2 + 1
x

Determinar:
1. Dominio de definición.
2. Asíntotas siexisten.
3. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máximos y
mínimos.
4. Área encerrada por: f(x), la recta x = 5 y la función g ( x ) =

1
x

Solución:

1) x = 0 ⇒ D =

− {0}

x2 + 1
x2 + 1
= −∞ y lim
= ∞ ⇒ x = 0 asíntota vertical
x →0
x → 0+
x
x
x2 + 1
1
x2 + 1
x2 + 1
lim x = lim 2 = 1; b = lim
− x = lim = 0 ⇒ y = x asíntota horizontal
x→∞
x →∞
x →∞
x →∞ x
x
x
x
2) lim
−

3) f '( x) =

⎧crece (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
x2 − 1
⇒ (−1, −2) máximo y (1, 2) mínimo
= 0 ⇒ x = ±1 ⇒ ⎨
2
x
⎩decrece (−1, 0) ∪ (0,1)

4)

5

5
⎡ x2 ⎤
x2 + 1 1
25
− dx = ∫ xdx = ⎢ ⎥ =
∫x x
2
⎣ 2 ⎦0
0
0
5

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2-b La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del
tercero suman120. Hallar:
Los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.
Solución:

⎧ x + y + z = 60
⇒ y + 2 z = 60 ⇒ y = 6 0 − 2 z ; x = z
⎨
⎩ x + 2 y + 3 z = 120
P = xyz = z (60 − 2 z ) z = −2 z 3 + 60 z 2
P ' = −6 z 2 + 120 z = 0 ⇒ z (−6 z + 120) = 0 ⇒ z = 0; z = 20; y = 20; x = 20
P '' = −12 z ⇒ P ''(20) = −240 < 0 ⇒ máximo
Bloque 3 (3 puntos)
3-a Las probabilidades...