Pau_macs10jp

Oficina d’Organització de Proves d’Accés a la Universitat
Pàgina 1 de 10
PAU 2010
Pautes de correcció
Matemàtiques Aplicades a les CC. SS.

SÈRIE 1

Pregunta 1
a.

3x − 1
= 3 . Per tant, y = 3 és asímptota horitzontal de f.
x+2
3x − 1
lim
= ∞ . Per tant, x = -2 és asímptota horitzontal de f.
x →−2 x + 2
lim

x →∞

b.
En ser creixent en tot el seu domini i correspondre x = -2 a una asímptota
3x −1
3x − 1
vertical, lim−
= −∞ , La gràfica de la funció és:
= +∞ i lim+
x →−2 x + 2
x →−2 x + 2

Pregunta 2

a.
lim− f(x) = b ; lim+ f(x) = e0 + 1 = 2 . Si la funció ha de ser contínua en x = 0,
x →0

x →0

cal que sigui b = 2.
b.
Per a valors positius de x tenim f '(x) = −e− x , que és estrictament negativa.
Per tant, f és decreixent per a tots els valors positius de x.

Oficina d’Organització deProves d’Accés a la Universitat
Pàgina 2 de 10
PAU 2010
Pautes de correcció
Matemàtiques Aplicades a les CC. SS.

Pregunta 3

Cada llapis A costa 50 €. Per tant, cada llapis B costa

90
⋅ 50 = 45 €, i cada
100

60
⋅ 50 = 30 €. Si anomenem x al nombre de llapis de tipus A
100
que han venut, y al nombre de llapis de tipus B i z al nombre de llapis de
tipus C, les dades del problema es tradueixenalgebraicament com:
x + y + z = 225
x + y + z = 225
⎫
⎫
⎪
⎪
50x + 45y + 30z = 10.500 ⎬ o bé, 50x + 45y + 30z = 10.500 ⎬ . Dividint per 5 la
⎪
⎪
x = 2(y + z)
x − 2y − 2z = 0
⎭
⎭

llapis C costa

segona equació i resolent pel mètode de Gauss tindrem:
⎛ 1 1 1 225 ⎞ ⎛ 1 1 1 40 ⎞ ⎛ 1 1
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜ 10 9 6 2100 ⎟ → ⎜ 0 1 4 150 ⎟ → ⎜ 0 1
⎜ 1 −2 −2
0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 3 225 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0
⎝
d’on obtenim z = 25, y = 50, x= 150. Per tant, la
de tipus A, 50 de tipus B i 25 de tipus C.

1 225 ⎞ x + y + z = 225 ⎫
⎪
⎟
4 150 ⎟ → y + 4z = 150 ⎬
9 225 ⎟⎠
9z = 225 ⎭⎪

botiga ha venut 150 llapis

Pregunta 4

a.
La funció cost mitjà serà, per tant, Q(q) =

q2
20
+4+
. Per tant,
100
q

25
20
+4+
= 8,25 ;
100
5
400
20
Q(20) =
+4+
= 9.
100
20
Q(5) =

b.
q 20 q3 − 1000
. Aquesta derivada s’anul·la quan q = 10.
−
=
50 q2
50q2
Siq < 10, Q’ és negativa. Si q > 10, Q’ és positiva. Per tant, q = 10
correspon a un mínim, i el cost corresponent és Q(10) = 7 .
Q'(q) =

Oficina d’Organització de Proves d’Accés a la Universitat
Pàgina 3 de 10
PAU 2010
Pautes de correcció
Matemàtiques Aplicades a les CC. SS.

Pregunta 5

a.
La recta AC és x = 2. La recta AB és y = 0. La recta BC és y = −2x + 8 . Per
tant, les inequacionsdemanades són:
x≥2 ⎫
⎪
y ≤ −2x + 8 ⎬ .
y ≥ 0 ⎪⎭

b.
z(2,4) = 8 ; z(2,0) = 4 ; z(4,0) = 8 . Per tant, el valor màxim és 8, i s’assoleix
en tots els punt del segment AC.
Pregunta 6

a.
Si el sistema ha de ser incompatible, la recta r’ ha de ser de la forma
x + 2y = k . Si ha de passar per l’origen, cal que sigui k = 0. Les rectes r i r’
són paral·leles.
b.
Si el sistema és compatible indeterminat significaque té tota una recta de
solucions: les rectes r i s són, per tant, la mateixa recta.

Oficina d’Organització de Proves d’Accés a la Universitat
Pàgina 4 de 10
PAU 2010
Pautes de correcció
Matemàtiques Aplicades a les CC. SS.

SÈRIE 4
Pregunta 1

Anomenarem x al nombre d’ampolles d’aigua, y al nombre d’ampolles de llet
i z al nombre d’ampolles de suc que hem comprat. Aleshores les dades delproblema es tradueixen en:
x + y + z = 40 ⎫
⎪
0,5x + y + 1,5z = 38 ⎬ .
x + 0,5y + 1,5z = 34 ⎪⎭
Resolent-lo:
1
1 40 ⎞ ⎛ 1
1
1 40 ⎞ ⎛ 1 5 2 2 ⎞ x + 5y + 2z = 2⎫
⎛ 1
⎪
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
1
2 36 ⎟ → ⎜ 0 1 2 36 ⎟ → y + 2z = 36 ⎬
⎜ 0,5 1 1,5 38 ⎟ → ⎜ 0
⎪
⎜ 1 0,5 1,5 34 ⎟ ⎜ 0 −0,5 0,5 −6 ⎟ ⎜ 0 0 3 24 ⎟
3z = 24
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎭
que, una vegada resolt, ens dóna x = 12, y = 20 , z = 8, és a dir, hem
comprat 12 ampollesd’aigua, 20 de llet i 8 de suc de fruites.
Pregunta 2
a.
lim f(x) = ∞ . Per tant, la funció no té asímptota horitzontal.
x →∞

lim f(x) = ∞ . Per tant, la recta x = -1 és asímptota vertical de f.

x →−1

b.
f '(x) =

−4x 2 − 8x

( x + 1)

2

= −3 que, un cop ordenada, ens dóna x 2 + 2x − 3 = 0 , d’on

obtenim x = 1 i x = -3. Per tant, com que f(1) = −2 i f( −3) = 18 , els dos punts
són (1,-2) i...