Paul

20.-Hallarel volumen del sólido limitado por la superficie con ecuación
(x2+y2+z2)2=a3x , x>0
Solución:
Pasamos a coordenadas esféricas
x=ρcosθsenϕ
y=ρsenθsenϕ
z=ρcosϕ((ρ2cos2θsen2ϕ+ρ2sen2θsen2ϕ)+ρ2cos2ϕ)=a3 ρcosθsenϕ
ρ4=a3 ρcosθsenϕ ⟹ρ=a34cosθsenϕ
Luego s=(ρ,θ,ϕ)0≤ρ≤a34cosθsenϕ∧ 0≤ϕ≤π ∧ 0≤θ≤2π
Además se tiene que Jρ,θ,ϕ=ρ2senϕ
V=dxdydz=02π0π0a34cosθsenϕρ2senϕdρdϕdθV=02π0πρ33senϕa34cosθsenϕ0ρdϕdθ=a3302π0πcosθsen2ϕdϕdθ
V=a3302π0πcosθ1-cos2ϕ2dϕdθ=a3602πcosθ(ϕ-sen2ϕ2)π0dθ
V=a3602ππcosθdθ=4a36π0π2cosθdθ=2a33senθπ20
V=2a3π3
21.-Hallar el volumen por encima del cono z2=x2+y2 ydentro de la esfera ρ=2acosϕ.
Solución:
Transformando a esféricas
x=ρcosθsenϕ
y=ρsenθsenϕ
z=ρcosϕ
Jρ,θ,ϕ=ρ2senϕ
ρ2=x2+y2+z2
z2=x2+y2
ρ=2acosϕ
0≤θ≤2π
0≤ϕ≤π4
0≤ρ≤2acosϕ
Luegos=(ρ,θ,ϕ)0≤ρ≤2acosϕ∧ 0≤ϕ≤π4 ∧ 0≤θ≤2π
V=dV=02π0π402acosϕρ2senϕdρdϕdθ
V=02π0π4(ρ33senϕ)2acosϕ0dϕdθ
V=02π0π4(8a33 cos3ϕsenϕ)dϕdθ
V=8a3302π0π4(8a33 cos2ϕcosϕsenϕ)dϕdθ
V=8a3302π0π4(8a33 cos2ϕcosϕsenϕ)dϕdθ
V=8a3302π0π4(8a33cos2ϕcosϕsenϕ)dϕdθ
V=8a3302π(-cos4ϕ2)π40=8a3302π(-(122)42+12)
V=8a3302π(-cos4ϕ2)π40dθ=8a3302π(-18+12)dθ
V=8a3302π(38) dθ
V=2πa3
22.-Hallar el centroide de la porción del volumen de la esferar2+z2=a2 que se encuentra entre los planos: θ=-π4 , θ=π4 .

23.-Hallar el centroide de la región limitada por la parte superior de la elipse 25x2+16y2=400 ,y por la parte inferior por el eje x.

24.-Hallar el centro de masa del solido dentro del paraboloide x2+y2=z y fuera del cono z2=x2+y2 . La densidad del volumen es constante.
Solución:
x2+y2=z
z2=x2+y2
z=1
Luego s=(z,r,θ)r≤z≤r2∧ 0≤r≤1 ∧0≤θ≤2π
Jz,r,θ=r
V=02π01r2rrdzdrdθ
V=02π01rr-r2drdθ
V=02π01(r2-r3)drdθ
V=02π(r33-r44)10dθ
V=02π(13-14) dθ
V=11202πdθ
V=π6
Momento estático con respecto al eje z
Mxy=02π01r2rzrdzdrdθMxy=02π0112r(r2-r4)drdθ
Mxy=02π12(r44-r66)10dθ
Mxy=02π12(14-16) dθ
Mxy=02π12(112) dθ
Mxy=02π12(112) dθ
Mxy=π12
z=Mxym=π12π6
z=12 x=0 y=0 Por simetría
c=x,y,z=(0,0,12)...