Pauta 1 PS FMM 032 2013 20

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032
2do Semestre, 2013
PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNE
Viernes 6 de Septiembre de 2013
1. Si se sabe que(p ∧ q) ⇒ (q ∧ r) es falsa, determine justificadamente, los valores de verdad de p, q y r,
para luego obtener el valor de verdad de:
(p ⇔ r) ∨ (q ⇒ r)
Sol:
Observe que, de acuerdo a que (p ∧ q) ⇒ (q ∧r) es falsa, se puede concluir que:
• p ∧ q es verdadera⇒ p ≡ V ; q ≡ V .
• q ∧ r es falsa ⇒ r ≡ F .
Finalmente, reemplazando los valores de verdad, se obtiene:
(V ⇔ F ) ∨ (V ⇒ F )
F ∨F ≡F
2.Considere los conjuntos:
A = {x ∈ Z : x es mayor que − 2 ∧ x es menor que 5}
B = {x ∈ R : x2 − 6x + 8 = 0}
C = {x ∈ R : 3x − 1 = 2}
Se pide calcular:
(a) A − (A ∪ B).
Sol:
Observe que:
A = {−1, 0, 1, 2, 3,4} ; B = {2, 4} ; C = {1}
De esta forma:
A ∪ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} = A ⇒ A − (A ∪ B) = ∅
(b) (A − B) ∩ C.
Sol:
Se observa que A − B = {−1, 0, 1, 3}. De esta forma:
(A − B) ∩ C = {1}

3. Untrabajador recibe el primer d´ıa de trabajo un bono de $1000. En los d´ıas sucesivos este bono va
aumentando en $150, de manera que en su u
´ltimo d´ıa de trabajo cobra un bono de $14350. Usando
f´ormulas deprogresiones, determine:
(a) Los d´ıas trabajados.
Sol:
Se trata de una progresi´
on aritm´etica con a1 = 1000; d = 150; an = 14350. De esta forma:
an = a1 + (n − 1)d = 1000 + (n − 1) · 150 = 14350 ⇔150n = 13500 ⇒ n = 90
R: La persona trabaj´
o 90 d´ıas.
(b) El cobro total en bonos durante todo el per´ıodo de trabajo.
Sol:
Lo que cobr´
o en total durante los 90 d´ıas se obtiene como:
S90 =

90
[2· 1000 + 89 · 150] = $690.750
2

4. Encuentre el d´ecimo t´ermino de una progresi´on geom´etrica que tiene como cuarto t´ermino el 135 y
como sexto t´ermino el 1215.
Sol:
Con los datos entregados setiene que:
a4 = 135 = a1 · r3 ; a6 = 1215 = a1 · r5
Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene:
1215
=9→r=3
135

r2 =
por tanto a1 =

135
27

= 5. De esta forma el d´ecimo t´ermino vale a10 = 5 · 39 =...