Pauta 1PS FMM 032 2013 10

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032
1er Semestre, 2013
PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNE
Viernes 12 de Abril de 2013

1. Si se sabe queproposici´
on compuesta [(p ∨ r) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (q ∨ p), es falsa. Determine el valor de verdad de:
(p ⇒ q) ⇔ [r ∧ (p ⇒ (q ∧ s))]
Soluci´
on:

Observe que p ∨ q ≡ F , entonces p ≡ F y q ≡ F . Luego si
[(p∨ r) ∧ (q ⇔ s)] ≡ V =⇒ (p ∨ r) ≡ V

y

(q ⇔ s) ≡ V

por lo anterior, tenemos que r ≡ V y s ≡ F . Finalmente reemplazando en la proposici´on principal, tenemos
que:
(p ⇒ q) ⇔ [r ∧ (p ⇒ (q ∧ s))]
(F ⇒ F )⇔ V ∧ F ⇒ F ∧ F
V ⇔ [F ∧ V ]
V ⇔ F
F
2. Sabiendo que A, B ⊆ U , demostrar que:
A ∪ [(A − B) ∩ B] ∪ [Ac ∪ B]c = A
Soluci´
on:

Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que:

A ∪ [(A − B) ∩ B] ∪[Ac ∪ B]c

= A

A ∪ [(A ∩ B c ) ∩ B] ∪ [A ∩ B c ]

= A

c

= A

c

A ∪ [A ∩ B ]

= A

A

= A

A ∪ [Ø ∪ [A ∩ B ]

3. En el binomio

x+

1
x2

18

, determine:

a) El t´ermino central.
b) El t´erminoindependiente de x, si es que existe.

Soluci´
on:
a) Utilizando el teorema del binomio, tenemos que:
x+

1
x2

18

18

18
k

=
k=0

x18−k

18

k

1
x2

=
k=0

18
k

x18−3k

Luego,
Tcentral = T10 =

189

x−9

b) El t´ermino independiente se obtiene cuando existe un k ∈ N0 , tal que x0 , es decir:
x0 =⇒ 18 − 3k = 0 =⇒ k = 6

si

por lo tanto, el t´ermino independiente se alcanza en el s´eptimot´ermino.
T7 =
4.

18
6

18
6

x0 =

a) La suma de N t´erminos de una progresi´on geom´etrica de raz´on 3 es 728 y el u
´ltimo t´ermino es 486. Calcule
el primer t´ermino de la progresi´
on.

Soluci´
on:Tenemos los siguientes datos:
r=3

;

S = 728

;

an = 486

Luego,
728 = a

3n − 1
=⇒ 1456 = a3n − a =⇒ a = a3n − 1456
3−1

486 = a3n−1 =⇒ 1458 = a3n
por consiguiente,
a = a3n − 1456 = 1458 − 1456 =⇒ a= 2
b) El primer d´ıa del mes una persona saca de su cuenta $120.000, los d´ıas siguientes saca $10.000 menos que
el d´ıa anterior. Al cabo de 8 d´ıas se ha gastado el dinero de la cuenta....