Pauta Ayudantia 4

UNIVERSIDAD FINIS TERRAE
Carrera: Ingeniería Comercial (Vespertino)

Primer Semestre Año 2015
Prof. Jorge Rozas
Ayudante: Andrés Celedon

Pauta Ayudantía Nº 4
Intervalo de Confianza para una y dos poblaciones
1. La empresa financiera “Cotapo” tiene graves problemas de retorno de los
créditos otorgados debido a la crisis Asiática que la afecta. Para cuantificar la
magnitud de los créditos impagos,ha decidido aplicar un Muestreo Aleatorio
Simple a una Población de 1000 clientes que posee.
Una muestra aleatoria de 100 clientes arrojó los siguientes resultados:
Número de cuotas impagas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Número de Clientes
2 5 12 18 20 16 13 7 4 2 1 100
a) Estime con un 95 % de confianza el numero promedio de cuotas de los Créditos
Impagos a la financiera Cotapo.
Solución:
Losdatos que nos entregan son los siguientes:
N° de Cuotas (xi) N° clientes (ni)
Xi*ni
Xi˄2*ni
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∑

𝑋̅ =

2
5
12
18
20
16
13
7
4
2
1

0
5
24
54
80
80
78
49
32
18
10
430

0
5
48
162
320
400
468
343
256
162
100
2264

430
2264 − 100 ∗ (4,3)2
= 4,3 , 𝑠 2 =
= 4,192 𝑦 𝑛 = 100
100
100 − 1

Por lo tanto estamos hablando de un intervalo de confianza para la media 𝜇, con la
varianzadesconocida, entonces
𝐼𝐶(𝜇)1−𝛼 = 𝑋̅ ± 𝑡1−𝛼,𝑛−1
2

𝑠
√𝑛

𝐼𝐶 (𝜇 )1−𝛼=0,95 = 4,3 ± 𝑡0,975,99

√4,192
√100

𝐼𝐶 (𝜇 )1−𝛼=0,95 = 4,3 ± 1,984 ∗

√4,192
√100

𝐼𝐶 (𝜇 )1−𝛼=0,95 = 4,3 ± 0,4062
𝐼𝐶 (𝜇 )1−𝛼=0,95 = [3,8938; 4,7062]
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =

𝑑 0,4062
=
= 0,0945
𝑥̅
4,3

b) Si se desea estimar el Total de clientes con más de 5 cuotas impagas, con una
confianza del 95 % y un error deestimación no superior a 21 Clientes, ¿Qué
tamaño de muestra recomendaría si se considera la anterior como una muestra
piloto?
Solución:
2

(𝑍1−𝛼/2 ) 𝑁 2 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞 (1,96)2 ∗ 10002 ∗ 0,27 ∗ 0,73
𝑛=
=
= 171,696 ≈ 172
𝑑2
212
2. Un proceso industrial produce lotes de un producto químico cuyo nivel de
impureza medio es de 5 gramos por 100 gramos de producto químico y cuya
desviación estándar es de 1,5 gramospor 100 gramos de producto químico. Se
selecciona una muestra aleatoria de 100 lotes.
a) Determine la probabilidad de que la media muestral difiera de la media
poblacional en más de una desviación estándar. Indique que teorema está
aplicando en este caso y fundamente su respuesta.
b) Los datos de la muestra permiten determinar una media muestral de 4,7 gramos
por 100 gramos de producto químico.Usando esta información, construya un
intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel del 95%.
Interprete y comente el resultado obtenido considerando los datos del enunciado
del problema.
Solución:
a)
𝑃(|𝑥̅ − 𝜇 | > 𝜎) = 1 − 𝑃 (|𝑥̅ − 𝜇 | ≤ 5)
= 1−𝑃(

|𝑥̅ −𝜇|
𝜕
√𝑛

𝜎

) ≤ 𝜎/

= 1 − 𝑃(|𝑍| ≤ √𝑛)

√𝑛

= 1 − 𝑃(−√𝑛 ≤ 𝑍 ≤ √𝑛)
= 1 − 𝑃(−√100 ≤ 𝑍 ≤ √100)
= 1 − [𝜙(10) − 𝜙 (−10)]
= 1 − [1 − 0]
=0b)
𝐼𝐶 (𝜇 )0,95: 𝑦̅ ± 𝑡99;0,975
1,5

𝓈
√𝑛

4,7 ± 1,96 × 10
4,7 ± 0,294

4,47 ≤ 𝜇 ≤ 4,99
Con un 95% de confianza ella imponga promedio real podrá encontrarse entre 4,47 y
4,99 gramos por 100 gr producto químico.
El intervalo es inferior al valor promedio real inicial a 5 gr. Algo ocurre OJO!
3. Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases
de largueros de aluminioutilizados en la fabricación de aviones comerciales
pequeños. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación de largueros y
del procedimiento de prueba, se supone que la desviación estándar de las
resistencias a la tensión son conocidas. Los datos obtenidos aparecen en la
siguiente tabla:
Clase de
larguero

Tamaño de
la muestra

1
2

10
12

Media muestral de la
resistencia a la tensión(Kg/mm2)
87,6
74,5

Desviación estándar
de la población
(Kg/mm2)
1,0
1,5

a) En base a esta información entregada previamente, encuentre un intervalo de
confianza para la diferencia entre los promedios poblacionales de la resistencia
a la tensión con un nivel de confianza del 90%.
Solución:

(87,6  74,4)  1,645

12,22;13,98

1,0 2 1,5 2

10
12

kg / mm2

b) ¿De acuerdo al resultado obtenido...