Pauta C2 2009

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MOP/EBC/HPV/GAJ/JRC/XV/MWC/EChA/hpv.

Solución Evaluación N◦ 2
520141.
1. Sea an =

√
n2 + 1 − n , n ≥1. Calcule los límites
l´ım an

y

l´ım (n · an )

(10 puntos)

Solución.- Se racionaliza
an

√
√
n2 + 1 + n
2
=
n +1−n √ 2
n +1+n
1
= √
2
n +1+n

y se calcula
1
l´ım an = l´ım √ 2
n +1+n
1
n

= l´ım1+

1
n2

+1

0
=0
= √
1+0+1

(5 puntos)

n
l´ım n · an = l´ım √ 2
n +1+n
1
= l´ım
1 + n12 + 1
1
1
= √
=
2
1+0+1

(5 puntos)

Obs.- Debe explicarse en la redacción cómo utiliza el álgebra de límites.2. Calcule los siguiente límites
a) l´ım

x→0

1 − cos 3x
2x2

, b) l´ım

x→2

√

3x2 + 4 − 4
x2 − 3x + 2
(20 puntos)

Solución.a) Una forma:
l´ım

x→0

1 − cos 3x
2x2

9 1 − cos 3x
x→0 2
9x2
9
1 −cos u
=
l´ım
u→0
2
u2
9
9 1
=
· =
2 2
4
= l´ım

(con u = 3x)

o bien hacer el desarrollo completo
l´ım

x→0

1 − cos 3x
2x2

9 1 − cos 3x 1 + cos 3x
·
·
x→0 2
9x2
1 + cos 3x

= l´ım

2

9 sin 3x
1
=l´ım
x→0 2
3x
1 + cos 3x
9
1
9
=
(1)2
=
2
1+1
4
b) Se racionaliza y simplifica
√
√
√
3x2 + 4 − 4
3x2 + 4 − 4
3x2 + 4 + 4
√
=
·
x2 − 3x + 2
(x − 1) (x − 2)
3x2 + 4 + 4
3x2 − 12
√
=
(x − 1) (x − 2) 3x2 +4 + 4
3 (x − 2) (x + 2)
√
=
(x − 1) (x − 2) 3x2 + 4 + 4
3 (x + 2)
√
=
(x − 1) 3x2 + 4 + 4

(10 puntos)

Luego,
√
3x2 + 4 − 4
3 (x + 2)
√
l´ım 2
= l´ım
x→2 x − 3x + 2
x→2 (x − 1)
3x2 + 4 + 4
3 (2 +2)
√
(2 − 1) 12 + 4 + 4
12
3
=
=
8
2
=

(10 puntos)

3. Sea f la función definida por

sin (x2 )


si −5 < x < 0

x
f (x) =
x (x + 5)



si
x≥0
4 (x + 1)
a) Estudie la continuidad de f en cadapunto de su dominio
b) Encuentre todas la asíntotas del gráfico de f.
(20 puntos)
Solución.a) Para un punto x0 ∈ ]−5, 0[ :
l´ım f (x) = l´ım

x→x0

x→x0

sin (x20 )
sin (x2 )
=
= f (x0 )
x
x0

y así fes continua en x0 .
También se puede argumentar que, en este intervalo abierto, f es el cuociente
de dos funciones continuas con denominador no nulo (el numerador es la compuesta de dos funciones...