pauta Certamen 1 mat021 1-2011

CERTAMEN No 1 MAT-021 2011 - 1

PREGUNTAS
1. Considere el siguiente razonamiento: Si estudio entonces apruebo los cursos. Adem´s, si no
a
termino mi carrera entonces no apruebo los cursos. A partir, unicamente de lo anterior,
¿cu´l de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a
(A) Si termino mi carrera entonces estudio.
(B) Si apruebo los cursos entonces estudio.
(C) Si estudio entoncestermino mi carrera.
(D) Si no estudio entonces no apruebo los cursos.
(E) Todas las anteriores son falsas.
Soluci´n:
o
Si definimos p: estudio, q: apruebo los cursos y r: termino mi carrera, entonces el enunciado
corresponde a (p =⇒ q) ∧ (r =⇒ q). Equivalentemente (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r). Es claro
que a es r =⇒ q, b es q =⇒ p, c es p =⇒ r (la cual es cierta por transitividad) y d
equivale a b.La respuesta es C.
2. El conjunto soluci´n S de la inecuaci´n
o
o
x2 − 4x − 4 < 8,
es:
(A) S = (−2, 6)
(B) S = R − {2}
(C) S = (−∞, −2) ∪ (6, ∞)
(D) S = (−2, 2) ∪ (2, 6)
(E) Ninguna de las anteriores
Soluci´n:
o
La inecuaci´n es equivalente a resolver:
o
−8 < x2 − 4x − 4
x2 − 4x + 4 > 0
(x − 2)2 > 0
|x − 2| > 0
x=2
x ∈ R − {2}

∧
∧
∧
∧
∧
∧

x2 − 4x − 4 < 8
x2 − 4x −12 < 0
(x − 2)2 < 16
|x − 2| < 4
−4 < x − 2 < 4
−2 < x < 6

luego el conjunto soluci´n S = (−2, 2) ∪ (2, 6), con ello, la alternativa correcta es la D.
o

1

3. El conjunto soluci´n de la ecuaci´n trigonom´trica
o
o
e
sen(x)(sen(x) + 1) = 2,
es:
(A) S = {π + 2πk /k ∈ Z}
(B) S = {π/2 + πk /k ∈ Z}
(C) S = {2π + πk /k ∈ Z}
(D) S = {π/2 + 2πk /k ∈ Z}
(E) Ninguna de lasanteriores.
Soluci´n:
o
La ecuaci´n equivale a sin2 (x) + sin(x) − 2 = (sin(x) + 2)(sin(x) − 1) = 0. Luego sin(x) = 1,
o
es decir la soluci´n son todos los n´meros reales de la forma π/2 + 2πk con k entero. La
o
u
respuesta es D.
4. Con respecto a la funci´n f (x) = sen2 (3x) − cos2 (3x).
o
(I) La funci´n es par.
o
(II) La sinusoide y = f (x) tiene amplitud 1.
(III) La imagen de π/6 es 1.¿Cu´l(es) es(son) verdadera(s)?
a
(A) S´lo I
o
(B) So` I y II
lo
(C) S´lo I y III
o
(D) S´lo II y III
o
(E) Todas I, II y III.
Soluci´n:
o
Tenemos que f (x) = sin2 (3x) − cos2 (3x) = − cos(6x) y luego I, II y III son verdaderas. La
respuesta es E.
5. El conjunto soluci´n de la siguiente inecuaci´n
o
o
|x − 7| < 5 < |5x − 25| ,
es:
(A) (2, 4)
(B) (2, 4) ∪ (6, 12)
(C) (4, 6)
(D)(2, 4] ∪ [6, 12)
(E) (6, 12)

2

Soluci´n:
o
La inecuaci´n es equivalente a resolver:
o
|x − 7| < 5 ∧ 1 < |x − 5|
−5 < x − 7 < 5 ∧ (x − 5 > 1 ∨ x − 5 < −1)
2 < x < 12 ∧ (x > 6 ∨ x < 4)
El conjunto soluci´n es (2, 4) ∪ (6, 12), luego, la respuesta es B.
o
6. Resuelva el sistema:
log(x) + log(y 3 ) = 5
x2
y

log

= 3

e indique su soluci´n
o
(A) x = 2, y = 1.
(B) x = 10, y =100.
(C) x = 1, y = 10.
(D) x = 10, y = 1.
(E) x = 100, y = 10.
Soluci´n:
o
El sistema entregado puede escribirse como:
log(x) + 3 log(y) = 5
2 log(x) − log(y) = 3
definiendo: a = log(x) y b = log(y) se debe resolver el sistema:
a + 3b = 5
2a − b = 3

⇒

a + 3b = 5
6a − 3b = 9

⇒

a = 2
b = 1

En consecuencia:
a = 2 ⇒ log(x) = 2 ⇒ x = 102 ⇒
b = 1 ⇒ log(y) = 1 ⇒ y = 101 ⇒x = 100
y = 10

La respuesta es por tanto E.
7. Considernando la funci´n
o
f (x) = 8 sen 3x +

π
π
cos 3x +
12
12

determine cual de las siguientes afirmaciones es verdadera.
(A) f no es una funci´n sinusoidal
o
(B) f es una funci´n sinusoidal de amplitud 8
o
(C) f es una funci´n sinusoidal de periodo
o

π
3.

π
(D) f es una funci´n sinusoidal cuyo ´ngulo de fase es − 12o
a

(E) Ninguna de las anteriores
3

Soluci´n:
o
Aplicando algunas identidades trigonom´tricas obtenemos
e
f (x) = 8 sin 3x +

π
π
cos 3x +
12
12

= 4 sin 2 3x +
= 4 sin 6x +

π
12

π
6

luego f es una funci´n sinusoidal de amplitud A = 4, periodo p =
o
π
θ = − 36 . Por lo tanto la alternativa correcta es C.

2π
6

= π , ´ngulo de fase
3 a

8. Sea a <...