Pauta Certamen 3 Mecanica Racional

PAUTA CERTAMEN 1 MECANICA RACIONAL
Lunes 7 de Mayo, 2012

Problema 1:
Un punto P se mueve en un plano horizontal fijo, alrededor de un punto fijo O, de modo que su aceleración a siempre es normal a r y el radio polar r gira alrededor de O con velocidad angular constante Ω. Hallar la ecuación de la trayectoria y el valor de la aceleración a. En el instante inicial r coincide con el eje x y esigual a ro , vo tiene direccción y. 50 ptos.

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Solución
r dr dt = r(t) er dr der dr der dθ dr dθ er + r = er + r = er + r eθ dt dt dt dθ dt dt dt ˙ r er + r θ eθ ˙ d2 r dr der dr dθ d2 θ dθ deθ er + + eθ + r eθ + r 2 dt dt dt dt dt dt2 dt dt dr dθ d2 θ d2 r dr der dθ dθ deθ dθ + eθ + r er + eθ + r 2 dt dt dθ dt dt dt dt2 dt dθ dt
eθ −er

= =

d2 r dt2

= =

= = Con Ω =

d2 r −rdt2

dθ dt

2

er + r

d2 θ dr dθ +2 dt2 dt dt

eθ

˙ ¨ (¨ − r θ 2 ) er + (r θ + 2 r θ) eθ r ˙ ˙ → d2 θ ˙ ¨ Ω= 2 =θ=0 dt

dθ ˙ = θ = constante dt

Por lo tanto: v a = = dr dt d2 r dt2 = = dr er + r Ωeθ dt d2 r − r (Ω)2 dt2 er + r dr d2 θ +2 Ω eθ dt2 dt
0

→

Identificación de aceleración y términos

10 ptos.

Como la aceleración solo tiene una componente tangencial, estoimplica que: 0 a = = d2 r − r Ω2 dt2 dr 2 Ω dt

→

Evaluación de ambos términos

5 ptos.

d2 r − r Ω2 = 0 dt2 ecuación caracteristica: r(t) = A e+Ωt + B e−Ωt dr(t) = A Ω e+Ωt − B Ω e−Ωt dt Bajo las condiciones iniciales: En t = 0 → r(0) = ro , vo ⊥ ro → m2 − Ω2 = 0 →

√ m = ± Ω2 = Ω →

→

Ecuación diferencial

5 ptos. 5 ptos.

Solución general ecuación diferencial de movimientodr(0) dr(0) er +ro Ω eθ = dt dt
0 vo

→

Identificación de las condiciones iniciales

8 ptos.

ro 0

= =

A + B B=A A Ω −B Ω → A=

ro 2

2

r(t) =

ro Ωt ro −Ωt e + e = ro sinh(Ω t) 2 2

→

Solución de la trayectoria

8 ptos.

ro ro dr(t) = Ω e+Ωt − Ω e−Ωt = ro Ω cosh(Ω t) dt 2 2

a = 2 ro Ω cosh(Ω t) Ω eθ = 2 ro Ω2 cosh(Ω t) eθ

→

Solución de la aceleración

9ptos.

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Problema 2:
La siguiente figura representa el juego de diversiones EL PULPO. Cada brazo del pulpo BCD es indeformable y permanece en todo instante en un plano vertical que gira entorno al eje z con velocidad angular p. El brazo gira a su vez en torno a un eje perpendicular al plano, con velocidad angular σ. Al extremo B de cada brazo del pulpo se encuentran cuatro carritos montadosen un disco de radio a, cuyo plano permanece normal al brazo CB en todo instante, y que gira en torno al eje CB con velocidad angular Ω. La geometría está dada en la figura (el ángulo β es constante). Calcular la velocidad y aceleración absolutas del punto A, que corresponde a uno de los carritos y dejarlas expresadas en las componentes del sistema fijo (x, y, z). 50 ptos.

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SoluciónGeometría

ex1 ey 1 ez1

Transformación de coordenadas de S1 → S: ˆ er = = cos φ er + sen φ k ˆ eθ = = − sen φ er + cos φ k = − eθ tanto: ˆ = cos φ cos θ ˆ + cos φ sen θ  + sen φ k ı ˆ ˆ = − sen φ cos θ ˆ − sen φ sen θ  + cos φ k ı ˆ = sen θ ˆ − cos θ  ı ˆ

cos θ ˆ + sen θ  ı ˆ − sen θ ˆ + cos θ  ı ˆ

por lo ex1 ey 1 ez1

El vector ez2 se encuentra en el plano descrito por los vectores ex1y ey1

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ez2 Con

= Ω=

ˆ ı ˆ ey1 = − sen φ cos θ ˆ − sen φ sen θ  + cos φ k dγ dt

Transformación de coordenadas de S2 → S: ex2 ey 2 ex2 = = = = ey 2 = = cos γ ex1 + sen γ eθ − sen γ ex1 + cos γ eθ ˆ cos γ (cos φ cos θ ˆ + cos φ sen θ  + sen φ k) + sen γ (− sen θ ˆ + cos θ ) ı ˆ ı ˆ ˆ cos γ cos φ cos θ − sen γ sen θ ˆ + cos γ cos φ sen θ + sen γ cos θ  + cos γ sen φ k ı ˆ ˆ − senγ (cos φ cos θ ˆ + cos φ sen θ  + sen φ k) + cos γ (− sen θ ˆ + cos θ ) ı ˆ ı ˆ ˆ − sen γ cos φ cos θ − cos γ sen θ ˆ + − sen γ cos φ sen θ + cos γ cos θ  − sen γ sen φ k ı ˆ

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Método 1:
r = = R + r1 + r2 = 0 + √ √ c2 − b2 ex1 + a ex2 ˆ c2 − b2 (cos φ cos θ ˆ + cos φ sen θ  + sen φ k)+ ı ˆ

ˆ +a ( cos γ cos φ cos θ − sen γ sen θ ˆ + cos γ cos φ sen θ + sen γ cos θ  + cos γ sen φ...