Pauta Certamen Calculo Udec

Universidad de Concepci´n
o
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Matem´tica
a
Pauta Evaluaci´n No 3: C´lculo Integral (2004)
o
a
1. Calcular el ´rea dentrodel lazo mayor de la curva r = 1 + 2 cos θ que es exterior a
a
su lazo menor.
Soluci´n:
o

(3 puntos)
2π
3

A=

π

(1 + 2 cos θ)2 dθ −

0

√
A = π + 3 3. (6 puntos)

(1 + 2cos θ)2 dθ (6 puntos)
2π
3

2. Calcular:
∞

a)

ln
n=1
∞

b)
k=1

(n + 1)2
n(n + 2)
∞

(n + 1)2
ln
n(n + 2)
n=1

k

Soluci´n:
o
(n + 1)2
n+1
= ln
n(n + 2)
nsumas parciales asociada es

a ) Como ln

n+2
, se tiene que la sucesi´n de
o
n+1

− ln

3
3
4
4
sn = ln 2 − ln + ln − ln + ln + ... + ln
2
2
3
3
go
∞

(n + 1)2
n(n + 2)ln
n=1
∞

∞

b)

n→∞

n=1

n→∞

k

(n + 1)2
n(n + 2)

ln
k=1

= l´ sn = l´
ım
ım

(ln 2)k =

=

n+2
n+1

ln 2 − ln

∞

k=1

n+1
n

− ln

n+2
, luen+1= ln 2. (8 puntos)

ln 2
. (7 puntos)
1 − ln 2

n!
= 0.
n→∞ nn

3. Demostrar que l´
ım
Soluci´n:
o
Sea an =

an+1
n!
1
, como l´ n→∞
ım
< 1, por el criterio de la raz´nse tiene
o
=
n
n
an
e
∞

an converge (8 puntos); luego, el t´rmino n - ´simo de esta serie
e
e

que la serie
n=1

n!
= 0. (7 puntos)
n→∞ nn

converge a cero, es decir, l´
ım4. Representar en serie la funci´n f (x) =
o
convergencia correspondiente.

6x2

11
, indicando el intervalo de
− 17x + 7

Soluci´n:
o
Como

11
3
2
3
2
=
−
=−
+
(3puntos),
6x2 − 17x + 7
3x − 7 2x − 1
7 − 3x 1 − 2x

3
3
=
7 − 3x
7

∞

n=0

3
x
7

n

∞

7
2
1
, para |x| < y
=2
(2x)n , para |x| < (6 puntos);
3 1 − 2x
2
n=0

∞n+1

se tiene que f (x) =

2
n=0

−

3
7

n+1

xn . (3 puntos)

11
El intervalo de convergencia es − , . (3 puntos)
22
27 de Enero de 2010
E. Gavil´n G.
a
egavilan@udec.cl...