Pauta Control 1 C Lculo Integral 2015 2 V21

MAT-106 C´
alculo Integral
Pauta Control N◦ 1
Viernes 21 de Agosto, 2015.
M´odulo 2
Tiempo: 70 minutos
1. Sea f : [−5, −2] −→ R la funci´on definida por f (x) = x2 + 1.
Para P = {−5, − 27 , − 52 ,−2} partici´on del intervalo [−5, −2], calcule la suma superior de f
respecto de la partici´on P.
Soluci´on: Notar que f (x) = 2x, entonces para todo x ∈ [−5, −2] se tiene que f (x) < 0. Por
tanto f esdecreciente en [−5, −2]. Adem´as es claro que f es continua [−5, −2].
De esta forma la suma superior de f respecto de la partici´on P esta dada por:
7
S(f, P) = f (−5) − − (−5)
2
3 53
29
= 26 · +
·1+
24
4
447
=
8

+f
·

−

7
2

7
5
− − −
2
2

+f

−

5
2

−2 − −

5
2

1
2

Criterios de Correcci´on:
1 punto por mostrar que f es decreciente en [−5, −2].
1 punto por calcular el supremo de f en [−5, −27 ] y por calcular el largo del intervalo [−5, − 72 ].
1 punto por calcular el supremo de f en [− 72 , − 25 ] y por calcular el largo del intervalo [− 72 , − 52 ].
1 punto por calcular el supremo de fen [− 52 , −2] y por calcular el largo del intervalo [− 25 , −2].
2 puntos por calcular la suma superior de f respecto de la partici´on P.

2. Sea f : [−1, 3] −→ R la funci´on definida por:
|x| si−1 ≤ x < 2
−2 si 2 ≤ x ≤ 3

f (x) =
donde |x| denota el valor absoluto de x.

a) Explique por qu´e la funci´on f es Riemann integrable en [−1, 3].
Soluci´on 1: f es una funci´on continua a trozos en [−1,3], por tanto integrable en [−1, 3].
O bien, f es acotada en [−1, 3] y discontinua en un n´
umero finito de puntos de [−1, 3],
por tanto integrable en [−1, 3].
Criterios de Correcci´on:
2 puntos porcualquiera de las dos razones.
Soluci´on 2: Notar que

 −x si −1 ≤ x < 0
x si 0 ≤ x < 2
f (x) =

−2 si 2 ≤ x ≤ 3
Luego f es integrable en [−1, 0), en [0, 2) y en [2, 3], y por tanto f es integrableen [−1, 3].
Criterios de Correcci´on:
1 punto por reconocer que f es integrable en cada subintervalo.
1 punto por concluir que f es integrable en todo el intervalo de definici´on.
3

b) Calcule...