Pauta_Control_2_FMM_134_2008_ _02

Universidad Andr´
es Bello
Departamento de Matem´
aticas

CALCULO APLICADO - FMM 134
2do Semestre, 2008

PAUTA CONTROL No 2Viernes 03 de Octubre de 2008
1. Calcular las siguientes integrales, utilizando el m´etodo indicado:
(a)

√

ex
dx, sustituci´onsimple.
1 + ex

Sol:
Sea u = 1 + ex ⇒ du = ex dx. Se tiene:
√

ex
dx =
1 + ex

du
√ =
u

u−1/2 du = 2u1/2 = 2(1 + ex )1/2 + C
1.5 Ptos.(b)

sin x · eax dx, integraci´on por partes.
Sol:
Sea I =

sin x · eax dx. Integrando por partes u = sin x → du = cos xdx; dv =eax dx → v =

eax
a .

Luego:
I=

eax sin x 1
−
a
a

cos x · eax dx
J

De igual forma para Jcon u = cos x → du = − sin xdx; dv =eax dx → v =
J=

eax cos x 1
−
a
a

eax
a :

− sin x · eax dx
I

Finalmente:
I=

eax sin x 1 eax cos x 1
I
1 eax cos x
eax sin x
−+ ·I ⇔I + 2 =
− 2
a
a
a
a
a
a
a
a
⇒I=

a2
eax sin x
1 eax cos x
−
+C
1 + a2
a
a2
a
1.5 Ptos.

2. Utilizando fracciones parciales,calcular la integral

x3

3x + 8
dx
− 4x2 + 4x

Sol:
A
A(x − 2)2 + Bx(x − 2) + Cx
3x + 8
B
C
3x + 8
=
⇔
=
+
+
x3 − 4x2 + 4x
x(x −2)2
x
x − 2 (x − 2)2
x(x − 2)2
• Si x = 2 ⇒ 2C = 14 ⇒ C = 7.
• Si x = 0 ⇒ 4A = 8 ⇒ A = 2.
• Si x = 1 ⇒ A − B + C = 11 ⇒ B = −2.1.5 Ptos.
Luego:

x3

3x + 8
dx = 2
− 4x2 + 4x

dx
−2
x

= 2 ln |x| − 2 ln |x − 2| −

dx
+7
x−2

(x − 2)−2 dx

7
+C
x−2
1.5 Ptos.