Pauta Control 2

Pauta Control N 2 (MAT 021)
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Agosto 2009
1. Para qué valores de r 2 R se tiene que:
8x 2 R : (r

1) x2 + 2 (r + 3) x + r < 3

(1)Solución.
Considere la ecuación de segundo grado asociada a la proposición en (1). Es decir, la ecuación:
1) x2 + 2 (r + 3) x + (r

E : (r

3) = 0

Por las propiedades del discriminante E y loscoe…cientes de la ecuación E, la condición del
problema es equivalente a exigir, simultáneamente, las siguientes condiciones sobre la ecuación
E:
E < 0
(2)
r 1 < 0
Esto es, resolver un sistema de inecuacionesen la variable r.
Ahora bien, la segunda condición indica, inmediatamente, que r 2 ( 1; 1).
Por otro lado, el discriminante

E
E

de la ecuación E viene dado por:

= [2 (r + 3)]2

4 (r

1) (r

3)Luego:
E

<0

()
()
()
()
()
()

Finalmente, por (2) se tiene que:

[2 (r + 3)]2 4 (r 1) (r 3) < 0
4 (r + 3)2 4 (r 1) (r 3) < 0
4 r2 + 6r + 9
4 r2 4r + 3 < 0
40r + 24 < 0
r < 43
r2
1; 35

r 2 ( 1; 1) \1;

3
5

=

1;

3
5

En otras palabras:
si y solo si, r 2

1;

3
5

8x 2 R : (r

1) x2 + 2 (r + 3) x + r < 3

.

1

2. Sean A = fx 2 R : j3x + 7j

4xg y B = fx 2 R : jxj

jx

1j

1g. Entonces:

a)Determine, si acaso existe, el número real sup A.
b) Encuentre fx 2 R : x es cota superior de Bg.

c) Determine, si acaso existe, nf (A \ B).
Solución. a)
Sabemos por el Axioma de Especi…cación en laTeoría de Conjuntos que:
x 2 A () x 2 R ^ j3x + 7j

4x

Es decir, el conjunto A queda completamente determinado por la función proposicional
j3x + 7j
4x. Ahora bien, considerándola como inecuación en lavariable x note,
primeramente, que ella trae una restricción "implícita". En efecto, por de…nición jxj 0,
para todo x 2 R. Luego, debemos exigir que:
4x

0

Es decir, x 0.
Hecha esta aclaraciónbuscamos inecuaciones (o funciones proposicionales) equivalentes.
En efecto:
j3x + 7j
4x ()
( 4x) 3x + 7
4x
() 4x 3x + 7 ^ 3x + 7
4x
() x 7 ^ 7
7x
() x 7 ^ x
1
() x 2 ( 1; 7] ^ x 2 ( 1; 1]
() x 2 ( 1;...