Pauta control fisica 120

PAUTA CONTROL No 3
F´
ISICA GENERAL II
XXXXXXXXXXX
Coordinador: XXXXXXXXXXXXXX
Departamento de F´
ısica
Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Campus San Joaqu´
ın

1. Se tiene una espira cuadrada de lado L, como se muestra en la FIG. 1. Si una corriente I circula en sentido
anti-horario por la espira:
z

I
y

L
P

L

x

FIG. 1. Espira cuadrada en el plano Y Z.a) (40 pts) Demuestre que el campo magn´tico en el punto P a una distancia perpendicular x del centro de la
e
espira es
B=

µ0 IL2
2π(x2 + L2 /4) x2 + L2 /2

x.
ˆ

(1)

´
ıa
e
SOLUCION: Dada la simetr´ de la espira el la magnitud del campo magn´tico en el punto P sera B = 8B0x ,
donde B0 es el campo generado por un alambre de largo L/2. Consideremos un elemento dz como se muestraen la figura 2. Luego

FIG. 2. Espira cuadrada en el plano Y Z.

B0 =
donde r =

µ0
4π

Idl × r
ˆ
,
r2

x2 + (L/2)2 + z 2 y |dl × r | = dz sin θ = dz
ˆ

x2 +L2 /4
x2 +(L/2)2 +z 2 .

(2)
Adem´s B0x = B0 cos φ con
a

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L/2
.
x2 +L2 /4

cos φ = √

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Luego
B0x =
=

µ0 I
4π
µ0 IL
8π

L/2
0

sin θcos φdz
r2

L/2

dz
+ (L/2)2 + z 2 )3/2

(x2

0

(3)
(4)

µ0 IL
z
=
8π (x2 + L2 /4) x2 + L2 /4 + z 2
=

L/2

(5)
0

µ0 IL2
.
16π(x2 + L2 /4) x2 + L2 /2

(6)

Finalmente
B = 8B0x x =
ˆ

µ0 IL2
x.
ˆ
2π(x2 + L2 /4) x2 + L2 /2

b) (10 pts) Encuentre una expresi´n para el campo magn´tico si x
o
e

(7)

L.

´
SOLUCION:
B=

µ0 IL2
2π(x2 + L2 /4) x2 + L2/2
µ0 IL2

=

2πx3 1 +

L2
4x2

1+

Usando 35 o 36 obtenemos a segundo orden distinto de cero
B≈
como x

L tenemos que L/x

(8)
(9)

L2
2x2

1+

L2
2x2

≈1+

L2
4x2 ,

por lo tanto

µ0 IL2
2πx3 1 +

1 y en particular
B≈

L2 2
4x2

L 2
2x

(10)

1, por lo tanto

µ0 IL2
2πx3

(11)

2. Una bater´ (FEM) V0 se conecta entre dos rieles paralelos,por los cuales se desliza (desprecie el roce) una barra
ıa
conductora de longitud L y masa m. La resistencia total del circuito es R y se mantiene constante independiente
del movimiento de la barra, ademas existe un campo magn´tico B constante y de direcci´n uniforme saliendo
e
o
de la hoja. Si la barra parte del reposo:

FIG. 3. Espira con una barra en un campo magn´tico B constante y dedirecci´n uniforme saliendo de la hoja.
e
o

a) (25 pts) Determine la velocidad final de la barra.
´
SOLUCION: Cuando la barra est´ en reposo, la corriente es I = V0 R. La fuerza sobre la barra, en esas
a
condiciones es F = ILB, dirigida hacia la izquierda. Debido a esa fuerza, la barra inicia su movimiento, cuya
velocidad en todo instante cumplir´ con
a
Fneta = ma = m

dv
,
dt(12)
2

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donde la fuerza neta es la fuerza de Lorentz, es decir Fneta = Fmag = ILB. Entonces
I=

m dv
.
LB dt

(13)

Al estar la barra en movimiento habr´ un cambio en el flujo magn´tico que atraviesa el circuito y aparecer´
a
e
a
en ´l una fuerza electromotriz inducida.
e

FIG. 4. Espira con una barra en un campomagn´tico B constante y de direcci´n uniforme saliendo de la hoja.
e
o

El flujo magn´tico y su respectiva rapidez de cambio son
e
dΦB
= BLv.
dt

ΦB = BLx,

(14)

De acuerdo a la ley de Lenz, la corriente producida por la fuerza electromotriz inducida tender´ a contrarrestar
a
el aumento de flujo. En este caso la fuerza electromotriz inducida impulsar´ una corriente en sentido opuestoa
a la corriente I indicada en el esquema. De ese modo la fuerza electromotriz inducida act´ a disminuyendo
u
la corriente por el circuito. Una corriente de sentido opuesto a I produce un campo magn´tico que est´
e
a
entrando en la hoja dentro del ´rea de la espira, cumpliendo as´ con contrarrestar el aumento de flujo debido
a
ı
al campo aplicado. Luego, aplicando Kirchhoff al circuito...