PAUTA CONTROL2 2014 2

Universidad Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Asignatura: Cálculo I, Modulo Básico Ingeniería
Control 2-Pauta
1. Usando amplitud de la onda,periodo, traslación y desfase. Hallar la grá…ca de
f (x) = 1 + 3 sin(2x + ). Además hallar el recorrido de f .
Para f (x) =

1 + 3 sin(2x + ) tenemos que

Una traslación vertical de 1 [u] haciaabajo. ..... 0,2
Amplitud de la onda es 3 [u]. ....0,2
Periodo . ....0,2
Desfase

2

...0,2

Con los ultimos tres datos gra…caremos fe(x) = 3 sin(2x + ). Observando que
los ceros de fe son x = 2 (k 1) k 2Z. ....0,2
3

y

2
1

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

-2
-3

grá…co.....0.4
Ahora apliquemos a fe la traslación vertical, pues f (x) =
2

y
-5

-4

-3

-2

-1

1
-2
-4

1

2

3

4

1 +fe(x).
5

x

gra…co.....0.4
Finalmente el recorrido de f es [ 4; 2]. ....0,2
2. Sean las funciones f y g de…ndas por f (x) = x2 + 9 y g(x) =

p1 .
x 5

i. ¿Existe f g? Justi…car su respuesta.
Para queexista f g se debe satisfacer que el dominio de f debe contener
al recorrido de g.
Y el recorrido de g es R+ y el dominio de f es R. ....0,4
En este caso tenemos que
Dom(f ) = R
Por tanto concluimos quef

Rec(g) = R+ : 0; 3

g existe.

ii. Si la respuesta de i: es a…rmativa. Hallar Dom(f
Dom(f

iii. Encuentrar [f

g).

g) = fx 2 Dom(g) = g(x) 2 Dom(f ) g:::;0; 2
1
2 R g::;0; 2
= fx 2 ]5; 1[ = p
x 5=]5; 1[:::;0; 3
g](x).

f

g(x) = f (g(x)) = f ( p

1
):::;0; 2
x 5

2

1
= p
+ 9:::;0; 2
x 5
9x 44
=
:::;0; 2
x 5
3. Hallar los siguiente límites:
i.
lmp
3

x!2

2

10 5x
:
3x + 2 2

p
p
10 5x
105x
( 3 3x + 2)2 + 2 3 3x + 2 + 4
p
p
lmp
=lmp
::;0; 3
x!2 3 3x + 2
2 x!2 3 3x + 2 2 ( 3 3x + 2)2 + 2 3 3x + 2 + 4
p
p
5(x 2) (( 3 3x + 2)2 + 2 3 3x + 2 + 4)
=lm
::;0; 3
x!2
3(x 2)
p
p
5 (( 3 3x + 2)2 +2 3 3x + 2 + 4)
::;0; 2
=lm
x!2
3
5(4 + 4 + 4)
=
= 20:::;0; 2
3
ii.

sin3 (2x)
:
x!0 x sin2 (3x)
lm

3

(2x)
sin3 (2x)
lm
=
l
m
x!0 x sin2 (3x)
x!0 x (3x)2
(2x)3
=lm

x!0

x

(3x)2

8
= :::;0; 2
9...