Pauta_Examen_Ecuaciones_Diferenciales_otoño_2015_
Páginas: 4 (966 palabras)
Publicado: 27 de septiembre de 2015
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Primer Semestre 2012
Viernes 13 de Julio
Carrera: Ingeniería Civil
Instituto de Ciencias Básicas
Pauta Examen de Ecuaciones Diferenciales
1. Resolver el problema devalor inicial
(cos sen −
Solución:
Sean
= cos sen −
Como
es exacta.
= −2
=
+ (1 −
)
= (1 −
y
)
)
, y se verifican las condiciones de continuidad, la ecuación diferencial
Entonces, existe unafunción ( , , ) = 0, tal que:
Donde: (i)
= 0, (0) = 2.
=
= cos sen −
y (ii)
Integramos en (ii) respecto de y:
=
+
= (1 −
(1 −
2
)
)
=0
+ ( )
Derivamos , respecto de x, y comparamoscon (i):
= −
Entonces:
( ) = cos sen
Luego:
Como (0) = 2 =>
=
( )# $%&(')# (
La solución particular, es:
O bien:
+
+
(1 −
2
)*+# (')
+
(1 −
2
(1 −
( ) = cos sen −
=> ( ) =
)
+sin ( )
+
2
= 0 =>
)
sin ( )
+
2
+
=0
= −2
sin ( )
=2
2
) + sin ( ) = 4
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Primer Semestre 2012
Viernes 13 de Julio
Carrera: Ingeniería Civil
Instituto de CienciasBásicas
2. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura
del aire es 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica 55°F, y después de cinco marca
30°F¿Cuál era la temperatura del recinto interior?
Solución:
El modelo matemático que representa a la situación, es:
= −/(- − -0 )
.
= −/(- − 5)
.
En nuestro caso, tenemos:
= −/ .
-−5
Entonces:
ln|- −5| = −/. +
- − 5 = 4 &56
O bien:
-(1) = 55 => 55 − 5 = 4 &5(%)
Como:
-(5) = 30 => 30 − 5 = 4 &5(8)
Entonces:
4
De donde:
95
4 &5(%) 50
= &5(8) =
=2
25
4
/=
= 254 8(
ln 2
4
:+
)
9
Latemperatura, en cualquier instante, es:
- =5+
:+
8
<6
&;
9
25 ;2 < 4 9
8
= 25(29 )
8
6
= 5 + 25 ;29 < ;2&9 < = 5 + 25 ;2
En . = 0, es decir, la temperatura al interior del recinto, es:
8
- = 5 + 25;29 < = 64,46°?
8&6
9 <
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Primer Semestre 2012
Viernes 13 de Julio
Carrera: Ingeniería Civil
Instituto de Ciencias Básicas
3. Suponga que un alumno es portador del...
Primer Semestre 2012
Viernes 13 de Julio
Carrera: Ingeniería Civil
Instituto de Ciencias Básicas
Pauta Examen de Ecuaciones Diferenciales
1. Resolver el problema devalor inicial
(cos sen −
Solución:
Sean
= cos sen −
Como
es exacta.
= −2
=
+ (1 −
)
= (1 −
y
)
)
, y se verifican las condiciones de continuidad, la ecuación diferencial
Entonces, existe unafunción ( , , ) = 0, tal que:
Donde: (i)
= 0, (0) = 2.
=
= cos sen −
y (ii)
Integramos en (ii) respecto de y:
=
+
= (1 −
(1 −
2
)
)
=0
+ ( )
Derivamos , respecto de x, y comparamoscon (i):
= −
Entonces:
( ) = cos sen
Luego:
Como (0) = 2 =>
=
( )# $%&(')# (
La solución particular, es:
O bien:
+
+
(1 −
2
)*+# (')
+
(1 −
2
(1 −
( ) = cos sen −
=> ( ) =
)
+sin ( )
+
2
= 0 =>
)
sin ( )
+
2
+
=0
= −2
sin ( )
=2
2
) + sin ( ) = 4
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Primer Semestre 2012
Viernes 13 de Julio
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2. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura
del aire es 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica 55°F, y después de cinco marca
30°F¿Cuál era la temperatura del recinto interior?
Solución:
El modelo matemático que representa a la situación, es:
= −/(- − -0 )
.
= −/(- − 5)
.
En nuestro caso, tenemos:
= −/ .
-−5
Entonces:
ln|- −5| = −/. +
- − 5 = 4 &56
O bien:
-(1) = 55 => 55 − 5 = 4 &5(%)
Como:
-(5) = 30 => 30 − 5 = 4 &5(8)
Entonces:
4
De donde:
95
4 &5(%) 50
= &5(8) =
=2
25
4
/=
= 254 8(
ln 2
4
:+
)
9
Latemperatura, en cualquier instante, es:
- =5+
:+
8
<6
&;
9
25 ;2 < 4 9
8
= 25(29 )
8
6
= 5 + 25 ;29 < ;2&9 < = 5 + 25 ;2
En . = 0, es decir, la temperatura al interior del recinto, es:
8
- = 5 + 25;29 < = 64,46°?
8&6
9 <
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Primer Semestre 2012
Viernes 13 de Julio
Carrera: Ingeniería Civil
Instituto de Ciencias Básicas
3. Suponga que un alumno es portador del...
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