Pauta Examen TeoJuegos 2 2013 1

Universidad Diego Portales
Escuela de Ingenier´ıa Comercial
Teor´ıa de Juegos
Semestre 2-2013
Prof. Cristi´
an Troncoso
Ayud. Cristian Orellana – Pablo Hueichapan

Examen Final
1. (40 puntos) Pedro es una persona pobre y con una mala historia crediticia. Su amigo Ju´
an est´
a
considerando hacerle un pr´estamo. Pedro necesita este dinero para consumo, pero tambi´en est´
a
considerando usar partede este dinero para comprarle regalos a sus nietos. El problema es que
si Pedro compra regalos no ser´
a capaz de pagar el pr´estamo. Sin embargo, si Pedro no compra
regalos entonces si pagar´
a el cr´edito. Si Juan decide no hacer el pr´estamo a Pedro, Pedro tendr´
a
que acudir a un prestamista. La matriz de pagos es la siguiente:

Juan

P
NP

Pedro
CR
NCR
−2, 7
3, 5
0, 0
0, −1

donde CR=compraregalo, NCR=no compra regalo, P=presta dinero and NP=no presta dinero.
(a) (5 puntos) Suponga que Juan y Pedro escogen acciones de manera simult´anea, y que este
juego solo dura un periodo. Encuentre el o los equilibrios de Nash de este juego.
Existe un u
´ nico equilibrio de Nash: (NP,CR)
(b) (10 puntos) Suponga ahora que al final de cada periodo Pedro sale de la pobreza con probabilidad 1/2 (elevento salir de la probreza en el periodo t es independiente del evento salir
de la probreza en cualquier otro periodo). Si Pedro escapa de la pobreza entonces ´el no
necesitar´
a un pr´estamo de Juan ni tampoco del prestamista (por lo que salir de la probreza
es equivalente a que Juan desaparezca del juego y por tanto, que el juego termine). Existe
alg´
un Equilibrio Perfecto en Subjuegos (EPS) enel que Pedro no compra regalos y Juan le
hace pr´estamos a Pedro en cada periodo?
El problema de salir de la pobreza es equivalente (en este contexto) al factor de
descuento. Considere las siguientes estrategias:


En t = 1 jugar P
S1 = En t ≥ 2 Jugar (i) P si outcome en el pasado ha sido siempre


(P,NCR); (ii) NP en otro caso


En t = 1 jugar NCR
S2 = En t ≥ 2 jugar (i) NCR si outcomeen el pasado ha sido siempre


(P,NCR); (ii) CR en otro caso.
1

donde S1 es estrategia para Juan y S2 es estrategia para Pedro.
(i) Considere cualquier periodo t tal que outcome en el pasado ha sido siempre
(P,NCR).
3
5
∗ Si ambos siguen sus estrategias, los pagos son 1−δ
para Juan y 1−δ
para
Pedro.
∗ Suponga que Juan se desv´ıa unilateralmente:
(t)
(t + 1)
(t + 2)
(t + 3)
(N P, N CR) (N P, CR)(N P, CR) (N P, CR)
0
0
0
0
∗ Como pago es 0 Juan no se desv´ıa.
∗ Suponga que Pedro se desv´ıa unilateralmente:
(t)
(t + 1)
(t + 2)
(t + 3)
(P, CR) (N P, CR) (N P, CR) (N P, CR)
7
0
0
0
5
∗ Luego, Juan no se desviar´
a si 1−δ
≥ 7, lo que equivale a que el factor de
2
descuento satisfaga δ ≥ 7 .
∗ Como δ = 21 > 27 , las estrategias antes detalladas inducen un equilibrio de
Nash en esta clase desubjuegos.
(ii) Considere cualquier periodo t tal que outcome es distinto a (P,NCR) en
alg´
un periodo pasado.
∗ Como (NP,CR) es un equilibrio de Nash para el juego simult´
aneo (que
se juega en cada periodo) y las estrategias indican que jugadores deben
jugar ´
estas acciones, ninguno tiene incentivos unilaterales a desviarse en
esta clase de subjuegos.
– Luego, si δ ≥ 72 , (S1 , S2 ) es un EPS enel que (P,NCR) se juega en cada
per´ıodo.

(c) (10 puntos) Suponga ahora que adem´as de decidir si comprar o no regalos, Pedro puede en
cada periodo decidir si paga o no el pr´estamo a Juan (asuma que Pedro le da el dinero a Juan
al comienzo del periodo y que Pedro debe pagar al final de este mismo periodo). Si Pedro
paga, entonces Juan estar´
a dispuesto a darle un nuevo pr´estamo en el periodosiguiente. Si
Pedro no paga, Juan cesar´
a de dar pr´estamos a Pedro. Asuma que en caso de que Pedro no
pague en alg´
un periodo, los pagos (de Pedro) en ese periodo se incrementar´an en 2, y que el
hecho de que Juan no le otorgue m´as pr´estamos (y deje de ser su amigo) significar´a un pago
de -1 para Juan en cada uno de los periodos siguientes. Si Juan y Pedro usan un factor de
descuento com´...