Pauta Examen A Lgebra I

´
Pauta Examen de Algebra
I
5 de Julio, 2014.
Profesores: Nicol´as Abarz´
ua, V´ıctor Bravo, Pablo Carrasco, Gabriela Fern´andez, Eduardo Hirsh,
Iv´an Jorquera, Roberto Medina, Eduardo Olave, Denis Osses, Mar´ıa Elena Saavedra, Salvador Y´an
˜ez.

1. Encuentre el conjunto soluci´on de la siguiente inecuaci´on:
x+2+

4
>0
x

Soluci´on: Primero notar que x = 0, luego resolvemos la inecuaci´on en R− {0}. En efecto, vemos que
x+2+

4
x(x + 2) + 4
x2 + 2x + 4
>0⇔
>0⇔
>0
x
x
x

La expresi´on cuadr´atica del numerador tiene discriminante ∆ = 22 − 4 · 1 · 4 = −12 < 0 y como el
coeficiente que acompa˜
na a x2 es positivo, se tiene que para todo x ∈ R, x2 + 2x + 4 > 0. Entonces
x2 + 2x + 4
>0⇔x>0
x
Por tanto el conjunto soluci´on de la inecuaci´on dada es
S = (0, +∞)
Criterios de Correcci´on:
1punto por las restricciones.
2 puntos por mostrar una inecuaci´on equivalente a la dada.
2 puntos por analizar el signo de los distintos factores de la inecuaci´on equivalente encontrada.
1 punto por encontrar el conjunto soluci´on.

1

2. Demuestre usando inducci´on que para todo n ∈ N se cumple que:
2n ≤ (n + 1)!
Soluci´on: Para n = 1, 21 = 1 y (1 + 1)! = 2! = 2. Por tanto la desigualdad se cumplepara n = 1.
Supongamos verdadero para n, es decir, 2n ≤ (n + 1)!. Por demostrar para n + 1, esto es, 2n+1 ≤ (n + 2)!.
En efecto, por hip´otesis de inducci´on se tiene que 2n ≤ (n + 1)!, luego multiplicando esta u
´ltima desigualdad por el n´
umeros posistivo (n + 2), se tiene que (n + 2)2n ≤ (n + 2)(n + 1)!, que es equivalente
a n2n + 2n+1 ≤ (n + 2)!. Como 2n+1 ≤ n2n + 2n+1 , por transitividadconcluimos que 2n+1 ≤ (n + 2)!.

Criterios de Correcci´on:
1 punto por mostrar que la proposici´on se cumple para n = 1.
2 puntos por reconocer la hip´otesis de inducci´on y la tesis de inducci´on.
3 puntos por mostrar que la proposici´on se cumple para n + 1, esto es por la utilizaci´on de la hip´otesis
de inducci´on y los procesos algebraicos que permiten llegar a la tesis inducci´on.

2

3.Calcule el valor de la siguiente suma:
n

k=1

5
+ 7k
(k + 2)(k + 3)

Soluci´on: Note que
n

k=1

5
+ 7k
(k + 2)(k + 3)

n

n

=
k=1
n

5
+
7k
(k + 2)(k + 3) k=1

= 5
k=1
n

= 5
k=1

= 5

n

1
+
7k
(k + 2)(k + 3) k=1

1
7 − 7n+1
1
−
+
3 n+3
1−7

Criterios de Correcci´on:
1 punto por separar en dos sumas.
1 punto por sacar la constante de la primera suma.
1 punto por la descomposici´on de la fracci´onracional.
1 punto por aplicar la propiedad telesc´opica a la primera suma.
1 punto por aplicar la suma geom´etrica a la segunda suma.
1 punto por el valor completo de la suma pedida.

3

n

1
1
−
+
7k
k+2 k+3
k=1

4. Hay tres caminos de la cuidad A a la cuidad B y cuatro caminos de la cuidad B a la cuidad C. ¿Cu´antas
rutas distintas hay de A a C pasando B?
Soluci´on: La ruta de A a C pasando porB se divide en dos etapas, estas son: Ir de A a B e ir de B a C.
La primera etapa se puede hacer de 3 formas distintas por que hay tres caminos de A a B.
La segunda etapa se puede hacer de 4 formas distintas por que hay cuatro caminos de B a C.
Por tanto, por principio multiplicativo, hay 3 · 4 = 12 rutas distintas de A a C pasando por B.

Criterios de Correcci´on:
2 puntos por reconocer lasetapas en que puede desarrollarse la acci´on.
3 puntos por contar de cuantas formas se puede realizar cada etapa.
1 por aplicar principio multiplicativo y concluir.

4

5. Encuentre, si existe, el coeficiente que acompa˜
na a x11 en el desarrollo de (5 + 7x3 )212 .
Soluci´on: Aplicando el teorema del Binomio a (5 + 7x3 )212 se tiene que

212
  5212−k (7x3 )k
=
k
k=0
 
212
212
  5212−k 7k x3k
=k
k=0
212

(5 + 7x3 )212



11
, pero k ∈ {0, 1, 2, . . . , 2012}, por tanto no existe k tal
3
que se tenga x11 , o sea que no existe coeficiente que acompa˜
na a x11 en el desarrollo de (5 + 7x3 )212 .
Luego obtenemos x11 si 3k = 11, es decir, k =

Criterios de Correcci´on:
2 puntos por aplicar el Teorema del Binomio.
2 puntos por reconocer la potencia de x en (5+7x3 )212 , esto es, obtener...