pauta mat

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MOS/HPV/JRC/GAJ/MWC/EBC/TR/RM/hpv.

Pauta de corrección de Evaluación N◦ 2
520141.
1 − 3n
,para n ≥ 1, indique si las siguientes
1 + 2n
proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

1. Dada la sucesión an = (−1)n

(a) lim a2n = lim a2n+1 .
n→∞

n→∞

Solución.-Falsa, porque
1
−6
3
1 − 6n
=−
= lim n
1
n→∞
1 + 4n n→∞ n + 4
2
1 − 6n − 3
= lim (−1)2n+1
n→∞
1 + 4n + 2
−2
−6
−2 − 6n
= lim −
= lim − n
3
n→∞
n→∞
3 + 4n
+4
n
3
(5 puntos)
=
2lim a2n =

n→∞

y

lim a2n+1

n→∞

lim (−1)2n

(b) lim |an | existe y es igual a lim a2n+1 .
n→∞

n→∞

Solución.- Verdadera, porque

3n − 1
1 + 2n
3
y lim |an | =
(5 puntos)= lim a2n+1
n→∞
2 n→∞
¯
¯
1
(c) Existe un natural N tal que: ¯a2n + 3 ¯ < 1000 , para todo natural n, con
2
n ≥ N.
Solución.- Verdadera, porque según parte (a) : lim a2n = − 3 .
2
|an | =n→∞

Otra justificación válida es:
¯ ¯
¯
¯
¯
5
3 ¯ ¯ 1 − 6n 3 ¯
¯
¯a2n + ¯ = ¯
¯ ¯ 1 + 4n + 2 ¯ = 2 (4n + 1)
¯
2

luego
¯
¯
¯a2n +
¯

¯
1
5
3¯
1
¯ <
⇔
<
¯
2
1000
2(4n + 1)
1000
⇔ 4n + 1 > 2500
2499
⇔ n>
4

y basta elegir N = 625 (o mayor).

(5 puntos)

2. Dadas las funciones f, g : R → R definidas por

 1 − x2 si x ≤ 0
½

1
si x ≤ −5
sin xsi 0 < x < 2
f (x) =
, g (x) =
x
−1 si x > −5
 2x2 −4

si x ≥ 2
3x+1

Determine:

(a) Si f es continua en los puntos a = 1 y a = 2.
Solución.- En a = 1 :
lim f (x) = lim

x→1

x→1sin x sin 1
=
= f (1)
x
1

luego f es continua en a = 1.
Otra forma es, considerar que f es el cuociente de dos funciones continuas
en ]0, 2[, con denominador no nulo.
(5 puntos)
En a =2 : debe considerarse límites laterales
2x2 − 4
4
=
x→2
x→2 3x + 1
7
sin x sin 2
=
lim f (x) = lim
x→2−
x→2− x
2
lim f (x) =
+

lim
+

y como sin 2 6= 4 , el límite no existe y
2...