Pauta PEP I

Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ciencia, Departamento de Matem´atica y C.C.
Asignatura C´alculo I, M´odulo B´asico Ingenieria, Primer Semestre 2012

PEP I
Problema 1.
(1.1) Si a < 0 fijo, resuelva la ecuaci´on −a |x + a| = |x + a|(8a + |x −
(1.2) Resuelva la inecuaci´on

√
−a |2 ) (8 pts.)

3x2 + 22x − 8
2x2 + 12x + 16
≥
(12 pts.)
x+1
x+2

Problema 2.
(2.1) Considere las funciones f(x) = (2 −

x)2 ,

x ∈ R y g(x) =



 −x



x−1

si 1 < x < 9
si 9 ≤ x ≤ 16

Determine el conjunto {x ∈ Dom f : f (x) ∈ Dom g}, es decir, determine Dom(g ◦ f ) (10 pts.)
(2.2) Un punto x se escoge entre los n´
umeros e y π. Suponga que f (x) representa el largo mayor entre los
largos de los trazos e x y x π. Determine f (x) como funci´on de x, dibuje la gr´afica de f y determine
su recorrido(10 pts.)
Problema 3.
(3.1) Si c < −2, calcule l´ım

n→∞

(c + 1)n + (c + 2)n
(c + 1)n+1 + (c + 2)n+1

(10 pts.)

(3.2) La siguiente figura muestra los cinco primeros cuadrados de una sucesi´on de cuadrados. El cuadrado
exterior tiene a m2 de ´area. Cada uno de los cuadrados interiores se obtiene al unir los puntos medios
de todos los lados del cuadrado anterior. Calcule Sn , la suma de las´areas de los n primeros cuadrados
de la sucesi´on y luego calcule l´ım Sn (10 pts.)
n→∞

INTRUCCIONES
- Debe responder cada uno de los 3 problemas en una hoja de cuadernillo distinta, si no responde alguna
pregunta, igualmente debe entregar dicha hoja.
- En cada hoja de cuadernillo debe colocar: Nombre completo, nombre de su profesor, secci´on, n´
umero de
la pregunta y fila.
- No se permite el uso decalculadoras, celulares ni reproductores de m´
usica.
- No se permiten preguntas personales.
- Posteriormente se puede solicitar recorrecci´on solo si escribe con l´apiz pasta.
- La duraci´on de la prueba es de 2 horas.

PAUTA PEP I
Problema 1.
(1.1) Si a < 0 fijo, resuelva la ecuaci´on −a |x + a| = |x + a|(8a + |x −

√
−a |2 ) (8 pts.)

Es claro que una soluci´on inmediata de la ecuaci´on ser´ax = −a ∈ R+ , ya que, en ambos miembros
de la igualdad aparece el factor |x + a|, que se anula en dicho valor. Luego si consideramos x ̸= −a
tenemos
√
√
−a |x + a| = |x + a|(8a + |x − −a |2 ) ⇔ −a = 8a + |x − −a |2
√
√
√
⇔ −9a = |x − −a |2 ⇔ 3 −a = |x − −a |
Notemos que la u
´ltima ecuaci´on es equivalente a
√
√
√
√
3 −a = x − −a ∨ −3 −a = x − −a
√
√
De donde tenemos x = 4 −a ∨ x = −2 −aFinalmente la soluci´on de la ecuaci´on est´a dada por el conjunto
{
√
√ }
S = −a , 4 −a , −2 −a
2x2 + 12x + 16
3x2 + 22x − 8
≥
(12 pts.)
x+1
x+2
Escribimos la inecuaci´on en la forma equivalente

(1.2) Resuelva la inecuaci´on

3x2 + 22x − 8 2x2 + 12x + 16
−
≥ 0; x ̸= −1 ∧ x ̸= −2
x+1
x+2
3x2 + 22x − 8 2(x + 4)(x + 2)
−
≥ 0; x ̸= −1 ∧ x ̸= −2
x+1
x+2
Desarrollando (sujeto a la condici´on x ̸= −1 ∧ x ̸=−2)
3x2 + 22x − 8 − 2(x + 4)(x + 1)
x2 + 12x − 16
≥0 ⇔
≥0
x+1
x+1
⇔ (x2 + 12x − 16)(x + 1) ≥ 0
Entonces tenemos

√ )(
√ )(
)
x − (−6 + 2 13) x − (−6 − 2 13) x + 1 ≥ 0
√ )
√ )(
)(
(
x − (−6 − 2 13) x − (−1) x − (−6 + 2 13) ≥ 0

La soluci´on es

√
√
S = [−6 − 2 13 , −2[ ∪ ] − 2, −1[ ∪ [−6 + 2 13 , +∞[

(

Problema 2.
(2.1) Considere las funciones f (x) = (2 −

x)2 ,

x ∈ R y g(x) =



 −x



si 1
x−1

si 9 ≤ x ≤ 16

Determine el conjunto {x ∈ Dom f : f (x) ∈ Dom g}, es decir, determine Dom(g ◦ f ) (10 pts.)
La funci´on g ◦ f es


2

 −(2 − x)

(g ◦ f )(x) =




si 1 < (2 − x)2 < 9

(2 − x)2 − 1

si 9 ≤ (2 − x)2 ≤ 16

Entonces se tiene 1 < (2 − x)2 < 9 ∧ 9 ≤ (2 − x)2 ≤ 16 , o equivalentemente 1 < (2 − x)2 ≤ 16. De
esto tenemos dos casos a estudiar
• Caso 1:
(x − 2)2 ≤ 16

⇔

|x− 2| ≤ 4

⇔

−2 ≤ x ≤ 6

• Caso 2
1 < (x − 2)2

⇔

1 < |x − 2|

⇔

x<1

∨

x>3

Finalmente la intersecci´on de estas soluciones es el conjunto requerido, es decir,
Dom(g ◦ f ) = [−2, 1[ ∪ ]3, 6]
(2.2) Un punto x se escoge entre los n´
umeros e y π. Suponga que f (x) representa el largo mayor entre los
largos de los trazos e x y x π. Determine f (x) como funci´on de x, dibuje la gr´afica de f...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.