Pauta prueba algebra i

1. Una parte de la funci´n f es representada por la siguiente gr´fica: o a

(a) Determine (si existe) lim f (x). Justifique.
x→5

Soluci´n. lim f (x) = 2, (1 punto) desde la gr´fica se observa queexisten los l´ o a ımites laterales y son iguales, esto es, lim f (x) = lim f (x) = 2. (1 punto)
x→5− x→5+ x→5

(b) ¿Es f continua en el intervalo [3, 5[? Justifique. Soluci´n. La funci´n escontinua en todo x0 ∈]3, 5[ ya que lim f (x) = f (x0 ). (1.5 puntos) o o Adem´s lim+ f (x) = f (3) = 1. (0.5 puntos) Por lo tanto f es continua en [3, 5[. a
x→3 x→x0

(c) Determine la ecuaci´n de las as´o ıntotas verticales que se observan y justifique su existencia a trav´s de la definici´n. e o Soluci´n. Existen dos as´ o ıntotas verticales x = −1 y x = 2. (1 punto) Notemos que
x→−1−

lim f (x) =+∞ ,

x→−1+

lim f (x) = −∞

y

x→2

lim f (x) = −∞ .

(1 punto)

1

2. La funci´n g determina el monto de impuestos (en miles de pesos) que debe pagar al estado una o persona enfunci´n de sus utilidades anuales (en millones de pesos) o  si x ∈ [6, 9)  10(x2 − 6x)       ax + b si x ∈ [9, 30] g(x) =   √   −   60 x √ 25x + 150  si x ∈ (30, 98) x + 19 − 7 Determine ay b para que esta funci´n sea continua cuando una persona cambia de tramo de pago o de impuesto. Soluci´n. Estudiamos primero la continuidad de g en x0 = 9. Debemos verificar que o
x→9

lim g(x) =g(9) = 9a + b .

(0.5 puntos)

Calculamos los l´ ımites laterales
x→9−

lim g(x) = lim− 10(x2 −6x) = 270, (0.5 puntos)
x→9 x→9

x→9+

lim g(x) = lim+ ax+b = 9a+b (0.5 puntos)
x→9

Paraque el l´ ımite lim g(x) exista, debemos tener 9a + b = 270.

(0.5 puntos)

Ahora estudiamos la continuidad de g en x0 = 30. Debemos verificar que lim g(x) = g(30) = 30a + b .
x→30 x→30

x→30(0.5 puntos) (0.5 puntos)

Calculamos los l´ ımites laterales, lim − g(x) = lim − ax + b = 30a + b lim g(x) = x− lim 60 √ √

y

x→30+

x→30+

√ √ 25x + 150 x − 25x + 150 x + 25x + 150 √ √...