Pauta Sol 1 Cal 3 02 2008

Pauta Solemne N°1 Calculo III

1) Sea

f ( x, y )  sen( x  ay )  ln( x  ay ) con a constante. Verifique si se cumple

2
2 f
2  f
.
a

x 2
y 2

Solución:

f
a
2 f
a2
 cos( x  ay )(a )  2  a 2 sen( x  ay ) 
y
x  ay
y
( x  ay ) 2
f
1
2 f
1
 cos( x  ay ) 
 2   sen( x  ay ) 
x
x  ay
x
( x  ay ) 2
Por lo tanto si se cumple que

2
2 f
2  f
a

y 2
x 2

2)Determine la ecuación del plano que contiene a la recta formada por los planos
x  y  z  1 ; x  y  3z  2 y que contiene al punto (2,3,4).
Solución:

3
1
 2 ; y    ; z   con
2
2
1 3
  IR . Siescogemos un punto cualquiera A  L , ejemplo A( , ,0) .
2 2

La recta de intersección está dada por: L : x 


1
5 3
Si Consideramos
Podemos determinar el vector AB  ( , ,4)  (5,3,8) .
2
2 2

v (2,1,1) vector direccional de la recta, calculamos el vector normal, como:

ˆj kˆ
iˆ



n  2 AB v  5 3 8  (5 ,  21 , 11) .
2 1 1
Entonces la ecuación del plano es:  5( x  2)  21( y  3) 11( z  4)  0

3) Determine el valor de k  IR para que la recta
a) Paralela al plano 2 x  3 y  z  3  0
b) Perpendicular al plano x  y  z  1

x 1 1 2y z  4
sea:


2
k 1
2

Solución:
Larecta

1 
 (k  1) ; z  2  4 ,   IR
2 2

x  2  1 ; y 

tiene

vector

   (k  1) 
,2 
direccional v   2,
2


a) Para que sea Paralela al plano 2 x  3 y  z  3  0 , debe sucederque
 
 (k  1)
3
n , v  0  (2,3,1), (2,
,2)  0  4  (k  1)  2  0  k  3
2
2


b) Para que sea perpendicular al plano x  y  z  1 , v   n con   IR
Es decir

  (k  1) 
,2   (1,1,1) entonces
 2,
2



k  5

 2
 (k  1)

2

y luego

4) Determine si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique.
a) Sea C : r (t )  (4t , 3 cos t , 3sent ) ,entonces la curvatura de C en el punto
5
(0,3,0) es
3
b) Sea f ( x, y )  4  2 x 2  2 y 2 , entonces las curvas de nivel de f , S k ( f ) ,
para 0  k  2 son circunferencias de radio

4  k2
2

...