PAUTA Test04

PAUTA - Test2 - EVP2
Calculo para administración y auditoria
29/10/2015
Nombre: ______________________________________________________________________
Tema:
 Derivadas en varias variables:
 Aplicación de la derivada de varias variables.
I)
1)

Derivar parcialmente las siguientes funciones.

f x, y   5x3 y 2  x  y  3x  6 y  2

fx  ?

fy  ?

f  x, y   5 x 3 y 2  x  y  3 x  6 y 2

fx  ?

fy  ?

15

1 1 / 2
x
3
2
1
f y  10 x 3 y  y 1 / 2  6
2
f x  15 x 2 y 2 

2)

f x, y, z   x5 y 4 z 3  ln y  xe

xyz

fx  ? f y  ?

fz  ?

f x, y, z   x 5 y 4 z 3  ln y  xe

xyz

fx  ? f y  ?

fz  ?

f x  5 x 4 y 4 z 3  1e

xyz

 xe

xyz

15

1yz

1
xyz
f y  4 x 5 y 3 z 3  1  xe xz
y
xyz
f z  3x 5 y 4 z 2  xe xy
3

xyz
x2  y3  z 4
xyz
f ( x, y , z )  2x  y3  z 4
f ( x, y, z ) 

fx 
fy 
fz 





fx  ?

fy  ?

fz  ?

fx  ?

fy  ?

fz  ?

yz x 2  y 3  z 4  xyz 2 x 

x



2

 y  z4
3





2

 

xz x 2  y 3  z 4  xyz 3 y 2



x

2

y z
3





4 2

 

xy x  y  z  xyz 4 z 3
2

3

x

2

4

y z
3



4 2

15

Derivar en regla de la cadena:
4)
z
Determine
; z ( x, y )  3 x 3 y 2  x 3  y 2  6 x  5 y
tDonde : x  t  4t 3
; y  3et
z
Determine
; z ( x, y )  3 x 3 y 2  x 3  y 2  6 x  5 y
t
Donde : x  t  4t 3
; y  3et
z z x z y



t x t y t
z
 9 x 2 y 2  3 x 2  6  1  12t 2   6 x 3 y  2 y  5 3et 1
t
2
2
2
3
z
 9t  4t 3  3et   3t  4t 3   6  1  12t 2   6t  4t 3  y  23et   5  3et 1
t





Derivar implícitamente:
7)
2 3
3 2
2

x y 2 x z  2 y z 3  5 , Determine

x 2 y 3  2 x3 z 2  2 y 2 z 3  5
z
z' 
x
3
2 xy  6 x 2 z 2  4 x 3 zz'6 y 2 z 2 z '  0
 4 x 3 zz'6 y 2 z 2 z '  2 xy 3  6 x 2 z 2





z ' 4 x 3 z  6 y 2 z 2  2 xy 3  6 x 2 z 2
z' 

 2 xy 3  6 x 2 z 2
4 x3 z  6 y 2 z 2



z
x

15



15

II)

8)

Problema de aplicación (Máximo y/o Mínimo sin restricción):

Una lechería produce lecheentera y leche descremada en cantidades x y y galones, respectivamente.
Suponer que el precio de la leche entera es px   100  x , y el de la leche descremada es q y   100  y .
Suponer que C x, y   x 2  xy  y 2 es la función de costos conjuntos de los artículos. ¿Cuáles deberían
ser los valores de x e y para maximizar las utilidades?.

Solución:
Precio
Ingreso

Leche entera
px   100 x

Leche descremada
q y   100  y

y  100  y 

x  100  x 

C x, y   x  xy  y
¿Cuáles deberían ser los valores de x e y para maximizar las utilidades?.
Costo

2

2

La función de utilidad es:



U x, y   x100  x   y 100  y   x 2  xy  y 2
U x, y   100 x  x  100 y  y  x  xy  y
2

2

2



2

U x, y   100 x  100 y  2 x 2  2 y 2  xy



U x, y   x100  x  y 100  y   x 2  xy  y 2
U x, y   100 x  x 2  100 y  y 2  x 2  xy  y 2



U x, y   100 x  100 y  2 x 2  2 y 2  xy

f y  100  4 y  x

Puntos críticos:

U x, y   100 x  100 y  2 x  2 y  xy
f x  100  4 x  y
fx  0
100  4 x  y  0
2

f y  100  4 y  x

fy  0

 4 x  y  100  0

/ 4

 x  4 y  100  0

/

15 x  300  0
15 y  300  0

2

100  4 y  x 0

100  4 y  x  0

f x  100  4 x  y
f xx  4

f xy  1

f y  100  4 y  x
f yx  1

/ 4
H  x, y  

4

1

1  4

det H  x, y    4  4    1 1
det H  x, y   16  1  15  0
f xx  4  0
Máximo relativo.

Respuesta:
X = 20 , Y = 20
Máximos relativos.

fy  0

Criterio:
Calculo del hessiano:

f yy  4

300
 20
15
300
y
 20
15

x

U x, y   100 x  100 y  2 x2  2 y 2  xy
f x  100  4 x  y
fx  0
100  4 x  y  0

25

9)

Un único almacén en una pequeña comunidad rural tiene para vender dos marcas de jugo de naranjas
congelado, una marca local que se obtiene a un costo de 30 centavos por tarro y una marca nacional
muy conocida que se obtiene a un costo de 40 centavos. El almacén estima que si la marca local es
vendida a x centavos por tarro...