pauta

Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA1001 Introducción al Cálculo 10-1

Pauta Control 1
P1.

(i) Probar que

(−a)−1 = −(a−1 ), a ̸= 0.
a+ (−a) = 0/ · a−1

Se sabe que

−1

−1

⇒ (a + (−a))a
−1

=0·a

−1

⇒ aa

+ (−a)a
−1

⇒ 1 + (−a)a

=0

(Existencia inverso

4)

= 0 (x · 0 = 0 ∀x ∈

a ̸= 0)(Distributividad)

(Existe neutro para ·)

=0

(1.0 pto.)

⇒ (−a)−1 · 1 + (−a)−1 [(−a)a−1 ] = (−a−1 ) · 0 = 0
en que se uso existencia de inverso de −a ̸= 0, distributividad
−1

⇒ (−a)

−1

+[(−a)

−1

+1·a

−1

−1

⇒ (−a)

⇒ (−a)

−1

−1

(−a)] · a

=0

=0

y propiedad

x · 0 = ∀x ∈

(asociatividad y 1 neutro para ·)

4.

(1 neutro para ·)

= 0.

+aAsi, cada término es el único opuesto del otro.
Se concluye que:
ii)

x2
α

∀α, x > 0

x2

En efecto α

(−a)

−1

= −(a

(x+1)
α+1

+1−
+1−

−1

(x+1)
α+1

2

2

αx2+x2 +α2 +α−αx2 −2αx−α
α(α+1)

(1.0 ptos.)

)

≥ 0.
=

=

(α+1)2 +α(α+1)−α(x+1)2
α(α+1)
x2 −2αx+α2
α(α+1)

=

2

(x−α)
α(α+1)

(1.0 ptos.)

≥0

donde el numerador es uncuadrado perfecto y el denominador

α(α + 1) > 0

||x|−|x−2||
P2. Resolver
x2 −1

positivo, de modo

x ≤ 1, x ∈ (1, 2]

y

⇔

x ∈ (−∞, −1),

la inecuación queda

⇔
⇒

x ∈ (1, 2],1
x2 −1
2

iii)

2|x−1|
x−1
x2 −1 ≤ 2 ⇔ (x−1)(x+1) ≤ 1 (x
1
x+1 ≤ 1 ⇒ x + 1 ≥ 1 ⇒ x ≥ 0

x ∈ (2, ∞),
⇒

|−x+x−2|
x2 −1

≤2

|x+x−2|
x2 −1

2

2

(1.0 ptos.)

≤2

− 1 ̸=0)
(1.0 ptos.)

(x + 1 > 0)

(1, 2] ⇒ x ∈ (1, 2]

la inecuación queda

Asi, la solución compatible con el intervalo en

es solución

|x−(x−2)|
x2 −1

≤2⇔

2
x2 −1

≤2

≤ 1 ⇒ x− 1 ≥ 1 (x − 1 > 0) ⇒ x ≥ 2
√
√
⇒ x ∈ (−∞, − 2] ∪ [ 2, ∞) que valida todo el intervalo (2, ∞).
√
La solución total será: x ∈ (−∞, − 2] ∪ (1, 1) ∪ (1, ∞)
1
x2 −1

del numerador es

2

la...