pauta

Pauta examen MAT 115
Ejercicio 1

a.

y  x lnx en el punto P  1, 0
x ln x  ln x  1| x1
x ln x| x1  1
L : y  x−1

El punto pertenece a la curva

d
dx
d
dx

xy 2  x 2y  4| 1,−1
1−1 2  1  2−1  4
dy
/
xy 2  x  2y  4
dx

b.

dy

dy

y 2  x2y dx  1  2 dx
dy
y 2 1
 2−2xy | 1,−1
dx
dy
−1 2 1
|
 2−21−1
dx 1,−1

1
2

Por derivadas parciales
Fx, y  xy 2  x − 2y − 4
dF
 dxd xy 2  x − 2y − 4  y 2  1
dx
dF
 dyd xy 2  x − 2y − 4  2xy − 2
dy
dy
y 2 1

−
|
2xy−2 1,−1
dx
dy
|
24  12
dx 1,−1

Esto es a parte de la pregunta del examen
xy 2  x  2y  4
y  1  12 x − 1

la curva
la recta
y

4
2

-5

-4

-3

-2

-1

1
-2

2

3

4

5

x-4

c.

i)

la forma

0
0

lim x→0

1−cos 2 2x
x2

4

se puede usar L ′ H porque cos0  1, queda de

1−cos 2 2x
x2

lim x→0

2 cos2x sin2x2
2x
sin2x
limx→0 4 cos2x
2x

 lim x→0
 lim x→0

 14  4
ii)

lim x→0

2

e 2x −1
3x

se puede usar L ′ H porque e 0  1, queda de la

0

0
0

forma

lim x→0

2

e 2x −1
3x2

e 2x 4x
3

 lim x→0

como es continua en x  0 el límite es

cero.
cotx

Fx 

d.

′

F x 

′

F x 

x 2 x

−csc 2 x x 2 x −cotx

− 2

F ′ − 2 
1
4

 2 − 12  −0

F ′ − 2  
1
4

 2 − 12 

 2 − 12 

′

x 2 x

2x1
2 x 2 x

2

− 2 −

− 2
−1

1
4

x 2 x

x 2 x
−−csc 2 − 2

−1

−csc 2 xx 2 x −cotx

1
4

2

2 −  1 cot − 
2
2
2 
2 −
−
2
2

− 2

2 −  1
2
2 
2 −
−
2
2

 2 − 12 

 − 1. 056 1

 − 1. 056 1

Ejercicio 2
Situación 1
Sea Stla distancia del barco a la costa, en tiempo t segundos.
Sea t el ángulo de elevación a la cima del cerro
Entonces se cumple que:
70
tant  St
1
70  tantSt
/ dtd
0 ...