pauta

U. DE SANTIAGO DE CHILE

DEP. DE MATEMATICA Y C.C.

PAUTA PREUEBA ACUMULATIVA
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA(10122)
Primer Semestre 2014
Pregunta 1
Determine la solucióngeneral de la ecuación
d2 y
+ 4y = sec(2x);
dx2

con

-

4

1
...........................................................................................0.2
Reemplazando en la ecuaciónpara la variable t:
N 00 + 4n2 2 N = 0, cuya solución general es:
Nn (t) = An cos(2n t) + Bn sen(2n t)

5...........................................................................................0.2
Por lo tanto la solución u(x; t)debe tener la forma
u(x; t) =

1
P

(An cos(2n t) + Bn sen(2n t)) sen(n x)

n=1...........................................................................................0.2
Usando la condición inicial u(x; 0) = sen( x), tenemos:
sen( x) = u(x; 0) =

1
P

An sen(n x)

0

x

1

n=1...........................................................................................0.2
R1
Por lo tanto: An = 21 sen( x)sen(n x)dx
0

Usando la identidad:
sen( x) sen(n x) =

Si n 6= 1

An =

R1

1
2(cos((1

(cos((1

n) x)

n) x)

cos((1 + n) x))

cos((1 + n) x)) dx =

0

sen((1 + n) x)
1+n

sen((1 n) x
1 n...........................................................................................0.2
R1
R1
Para n = 1, A1 = 2 sen2 ( x)dx = (1 cos(2 x) dx = 1
0

0

...........................................................................................0.2Como la cuerda parte del reposo,
1
P
0 = @u
(x;
0)
=
2n Bn sen(n x)
y por tanto Bn = 0; 8n
@t
n=1...........................................................................................0.2
Finalmente la solución es
u(x; t) = cos(2 t) sen( x)
...........................................................................................0.2

6

1

1

=0
0