PCPI

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unidad 1 Conjuntos numéricos

contenidos

1. Números naturales
2. Números enteros

3. Números racionales
4. Números irracionales
5. Números reales
6. Potencias y raíces
7. Notación científica
8. Logaritmos

Todos solemos llamar números naturales a
los que usamos «de toda la vida», o mejor
dicho, desde que aprendemos a contar,
aunque en realidad éstos se denominan
«númerosarábigos», llamados así para poder distinguirlos de los números romanos
(I, II, III, IV, V, VI, etc…).
Los árabes popularizaron estos números,
pero su origen se remonta a los comerciantes fenicios que los usaban para contar y
llevar la contabilidad comercial.
¿Te has parado a pensar alguna vez, por
qué el «1» se llama «uno», el «2» se llama
«dos» y así sucesivamente? Pues la explicación noes tan sencilla: los números romanos son fáciles de entender pero… ¿y qué
lógica hay tras este tipo de números?
El truco está en los ángulos. Si lo pensamos
detenidamente, llegaremos a la conclusión
y por pura lógica, veremos que si escribimos el número en su forma primitiva, tenemos que:
• El número 1 tiene un ángulo.
• El número 2 tiene dos ángulos.
• El número 3 tiene tres ángulos.
• Yel «0» no tiene ángulos.
Puedes verlos todos en la imagen siguiente:

Sin
ángulos

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Conjuntos numéricos

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1. Números naturales
Los números naturales los utilizamos para contar.
El conjunto de los números naturales se designa con la letra ‫ ގ‬y tiene infinitos elementos:
‫( = ގ‬0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...)
•Decimos que un número a es múltiplo de otro b si se cumple que a = n · b,
donde n es otro número natural.
• Decimos que un número a es divisor de b si se cumple que b : a es división
exacta.
EJEMPLOS
• Múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10 ...

Múltiplos de 5: 10, 15, 20, 25...

• Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

1.1. Criterios de divisibilidad

En elsiglo IX, Al-Juarismi escribió varios libros importantes sobre números arábigos y sobre los métodos de
resolución de ecuaciones.

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten saber si un número es:
• Divisible entre 2: si acaba en 0 o número par.
• Divisible entre 3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Divisible entre 4: si las dos últimas cifras son ceros oforman un múltiplo de 4.
• Divisible entre 5: si acaba en 0 o 5.
• Divisible entre 6: si lo es entre 2 y entre 3.

El cero

• Divisible entre 8: si las tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

El cero, tal y como lo conocemos fue
descubierto en la India y llegó a Europa a través de los árabes.

• Divisible entre 9: si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Divisible entre 10: siacaba en 0.
• Divisible entre 11: si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan los lugares pares e impares es 0 o múltiplo de 11.
EJEMPLOS
• Halla tres múltiplos de 2, 7 y 13.
2 → 4, 6, 8.
7 → 14, 21, 28.
13 → 26, 39, 52.
• Halla los divisores de 75, 100 y 132.
75 → 1, 3, 5.
100 → 1, 2, 4, 5, 10.
132 → 1, 2, 3, 4, 6, 11.

Grandes civilizaciones, como los romanos no conocieronsu uso, con lo
que los cálculos entrañaban gran dificultad.
Otras teorías apuntan a Babilonia
como cuna del número cero.
El cero no se solía incluir en el conjunto de los números naturales por
convenio. Y se representaba como
‫ *ގ‬al conjunto de los números naturales cuando incluía al cero; por
ello nos podemos encontrar con
muchos libros donde los autores no
consideran al cero comonúmero natural. Sin embargo, las matemáticas
actuales ya reconocen al cero como
parte de los números naturales.
El cero es el único número real por
el cual no se puede dividir. Ejemplo:
8 : 0 = error; (5, 3) : 0 = error.

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1.2. Factorización
• Decimos que un número es primo si solamente es divisible entre 1 y...