PDS quinto laboratorio

UNSA_EPIS
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
QUINTA PRÁCTICA DE LABORATORIO
RESPUESTA DE SISTEMAS LTI – TRANSFORMADA DE FOURIER
ANÁLISIS EN FRECUENCIA


I. OBJETIVOS

Obtener la transformada de Fourier
Analizar la información obtenida
Realizar el análisis espectral y frecuencial de señales

Comandos de Matlab relacionados
fft: calcula la TDF.
fftshift: realiza el centrado de laTDF.
abs(fft(f)): magnitud de la TDF.
angle(fft(f)): fase de la TDF.
ifft: calcula la TDF inversa.
ifftshift: operación inversa al centrado.


I MARCO TEÓRICO
DTFT (Transformada de Fourier en Tiempo Discreto )
La transformada de Fourier X(w) de una señal en tiempo discreto x[n] se calcula mediante la expresión



y su inversa es,



La DTFT X(w) toma valores complejos y esuna función continua y periódica en w. El periodo es 2pi, representándose normalmente en el intervalo [-pi,pi].
Las fórmulas con la que MATLAB calcula la transformada rápida de Fourier Y=fft(x) y la transformada inversa y=ifft(X) son, respectivamente son:

La transformada rápida de Fourier FFT es un algoritmo que reduce el tiempo de cálculo de n2 pasos a n·log2(n). El único requisito es que elnúmero de puntos en la serie tiene que ser una potencia de 2 (2n puntos), por ejemplo 32, 1024, 4096, etc.
Al evaluar numéricamente la DTFT se presentan dos problemas:

La secuencia x[n] puede tener un número infinito de puntos: para resolver el primer problema consideraremos que la secuencia de entrada está formada por un vector de L puntos siendo 0 para los valores comprendidos entre L+1 einfinito.
X(w) es una función continua de la frecuencia w y debe ser discretizada para trabajar en un procesador digital: consideraremos que X(w) se evalúa en un número N finito de frecuencias equidistantes en el intervalo [-pi,pi] con incrementos de 2pi/N, es decir se consideran el conjunto discreto de frecuencias wk = 2pik/N con k=0,1,...N-1. Si se elige N lo suficientemente grande los valoresX[2pik/N] se aproximan a la función X(w) continua que tuvo que ser muestreada. Al muestrear la DTFT de esta manera se obtiene la expresión correspondiente a la trasformada discreta de Fourier DFT que en MATLAB se implementa mediante el algoritmo conocido como FFT (Fast Fourier Transform). Se debe elegir N tal que N>L.

II. ACTIVIDADES

1. La Transformada discreta de Fourier DTF muestra ladescomposición frecuencial de una señal o sistema, es la discretización de la Transformada de Fourier y puede obtenerse directamente de la TZ igualando z=ejw

a) Para el sistema descrito por la ecuación en diferencias
y[n]=0.4y[n-1]-0.25y[n-2]+0.5x[n]+0.4x[n-1]+0.8x[n-2]
obtenga la transformada discreta de Fourier e identifique su comportamiento, utilize las sentencias

>>[H,w]=freqz(B,A);plot(w,abs(H))

B,A son numerador y denominador de la TZ de la función de transferencia del sistema (descrita en potencias negativas de z y ordenados de menor a mayor orden)

2. FFT: La manera eficiente de calcular la DFT. En MATLAB la función es
>> X=fft(x,N)
Calcula la FFT de N puntos del vector x, el resultado X es un vector de números complejos ordenados con índice k=0,1, ...N-1. Si no seda el segundo parámetro se considera como N la longitud del vector. Para que el algoritmo sea eficiente N debe ser potencia de 2. Si la longitud de x es menor que N, el vector se rellena con ceros. Si es mayor el vector es truncado.
>> x = ifft(X)
Calcula la transformada de Fourier inversa del vector X. También se puede especificar el número de puntos N con ifft(X,N)
>> X=fftshift(x)
Reordenael vector X en orden creciente de frecuencias de tal manera que la componente continua queda centrada.

Para:
a = {1, 3, -2, 2, 4, 3,1,3,4}
b = {1, 5, 1, 4, 4, 2}
c = {1, 3, -2, 0, 0, 0, 0, 0}
d = {1, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 0}
Encontrar la DFT (grafique módulo de A,B,C,D, fase de A,B,C,D) use el comando fft, corra el comando sin especificar el número puntos, luego córralo usando un número de...