Pedagogia

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 4. Ecuaciones diferenciales.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales.
Muchas aplicaciones y problemas de la ciencia, la ingeniería y la economía se formulan en términos
de un modelo descrito por una ecuación diferencial, como el que analizaremos acontinuación. En
esta lección estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Aprenderemos a
resolver estas ecuaciones diferenciales e investigaremos las propiedades de sus soluciones.
EJEMPLO. Un producto químico se vierte en un recipiente que contiene una solución líquida con una
determinada cantidad de ese producto químico disuelto. La mezcla se mantiene homogénea por agitación y, asu vez, sale del recipiente a una velocidad conocida.

En este proceso es importante conocer la cantidad de producto químico que contiene el recipiente
en un momento dado. La tasa de cambio de la cantidad de producto es la diferencia entre la velocidad a la que llega el producto y la velocidad a la que sale. Denotemos por y ( x) la cantidad de
producto químico que contiene el recipiente en elinstante x. Entonces
y′( x) = [ velocidad de llegada ] − [ velocidad de salida ] .

Si V ( x) es el volumen total de líquido del recipiente en el instante x, entonces velocidad de salida
del producto químico, en el instante x, es el producto de la concentración, en el instante x, por la
y ( x)
tasa de salida, es decir, [ velocidad de salida ] =
⋅ [ tasa de salida ] . Igualmente
V ( x)[ velocidad de llegada ] = [ concentracion ] ⋅ [ tasa de llegada ] .
y ( x)
[ tasa de salida ]. Si medimos y( x)
V ( x)
kilogramos, V ( x) en litros, y x en minutos, las unidades en la ecuación anterior son
De acuerdo con lo anterior, y′( x) = [ velocidad de llegada ] −

⎡ kilogramos ⎤ ⎡ kilogramos ⎤ ⎡ litros ⎤ ⎡ kilogramos ⎤ ⎡ litros ⎤
⎢ minuto ⎥ = ⎢ litros ⎥ ⎢ minuto ⎥ − ⎢ litros ⎥ ⎢minuto ⎥ .
⎣
⎦ ⎣
⎦⎣
⎦ ⎣
⎦⎣
⎦
Por ejemplo, en una refinería de petróleo, un tanque de almacenamiento contiene 10.000 litros de
gasolina que contiene 100 kilogramos de un aditivo disuelto en ella. En preparación para el invierno, se bombea al tanque gasolina que contiene 0.05 kilogramos de aditivo por litro a una velocidad

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Lección 4. Ecuaciones diferenciales.

de 40 litros por minuto. La solución bien mezclada se bombea a una velocidad de 45 litros por
minuto ¿Qué cantidad del aditivo habrá en el tanque si han transcurrido 20 minutos desde que ha
comenzado el proceso de bombeo? Sabemos que el volumen en litros (de gasolina y aditivo) del
tanque, en cualquier instante x, es V( x) = 10.000 + ( 40 x − 45 x ) = 10.000 − 5 x. Entonces

[ velocidad de salida ] =

y ( x)
y ( x)
9 y ( x)
.
⋅ 45 =
[ tasa de salida ] =
10.000 − 5 x
2000 − x
V ( x)

Por otra parte, [ velocidad de llegada ] = [ concentracion ] ⋅ [ tasa de llegada ] = 0.05 ⋅ 40 = 2. La ecua-

ción diferencial que modela el proceso de mezcla es y′( x) = 2 −
mos que y (0) = 100. La solución de estaecuación diferencial es

9 y ( x)
. Por otra parte, observe2000 − x

y ( x) = 0.25 ( 2000 − x ) − 7.8125 ⋅10−28 ( 2000 − x ) .
9

Por tanto, al cabo de 20 minutos, la cantidad de aditivo será y (20) = 129.593.
DEFINICIÓN. Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma y′ = f ( x, y ),
siendo f ( x, y ) una función de dos variables definida en una región del plano.Una solución de la
ecuación diferencial y′ = f ( x, y ) es una función y = y ( x) derivable en un intervalo I ⊆ tal que
y′( x) = f ( x, y ( x) ) , para todo x ∈ I .
EJEMPLO. 1) Vamos a comprobar que la función y ( x) = x 2 + 5 es solución de la ecuación diferencial
y′ = 2 x. Derivando la función y se obtiene que y′( x) = 2 x.
2) La función y ( x) = e 2 x + 5 es solución de la ecuación...