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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CAMPECHE

Facultad de Ciencias Químico Biológicas

Licenciatura en Biología

Algebra Superior

Nombre del Trabajo:
Resolución de ecuaciones por el método de matrices.

Docente:
Ing. Fernando Laines Escobar.

Alumno: Ávila Castillo Ricardo Alfonzo.

Semestre y Grupo: 1° B

MATRICES Y VECTORES

Una matriz es un arreglo rectangular de números, llamadoselementos, ordenados de tal manera que cuente con "m" filas y "n" columnas.
Los elementos pueden ser números reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notación con doble subíndice, por ejemplo:

Así el elemento será aquel localizado en la fila "i" y en la columna "j".
Los vectores son formas especiales de las matrices. Si m > 1, pero n = 1, la matriz seconvierte en:

Con una sola columna, y se denomina vector columna.
Pero si la matriz es de m = 1 y n > 1 se convierte en vector fila.
Cuando solo hay una columna o una sola fila no es necesario utilizar dos subíndices, con un solo subíndice es suficiente.
En otro caso especial donde m = n = 1, la matriz de 1 x 1 se denomina escalar.
A continuación se numeran algunas definiciones de matricesimportantes dentro del álgebra lineal.
MATRIZ CUADRADA:

Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de "n x n".
MATRIZ NULA:

Todos los elementos de la matriz son cero.
MATRIZ IDENTIDAD:

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son "1"; mientras que todos los demás elementos son cero.
Esto es:

MATRIZ TRANSPUESTA:

La transpuesta de una matriz seobtiene intercambiando las filas en el lugar de las columnas y las columnas en el lugar de las filas. Así si,.
Por ejemplo:
 
 
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:

Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal principal son ceros, esto es:
 

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:

Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arriba de la diagonal superior son cero; esto es: 

 

OPERACIONES ENTRE VECTORES Y MATRICES

SUMA Y RESTA:

Podemos sumar una matriz a otra o restarla de otra si ambas tienen el mismo tamaño (mismo número de columnas y filas). Como los vectores son una forma especial de matrices, las mismas reglas se aplican a los vectores. Sea 
 
 
La suma y resta de matrices del mismo tamaño está definida por:

Donde es una matriz conEjemplo:
 
 









PRODUCTO VECTORIAL Y MATRICIAL

Sea; 
 
y dos n-vectores;
Entonces el producto de (producto escalar), esta dado por: 
 

Debido a la notación empleada, el producto escalar de dos vectores a menudo recibe el nombre de producto punto o producto interno de los vectores. Se puede advertir fácilmente que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar. A fin deque se pueda hacer el cálculo del producto escalar de A y B es necesario que A y B tengan el mismo número de componentes.
El producto escalar entre vectores cumple con lo siguiente:
Sean a, b y c n-vectores y  un escalar. Entonces:
1.- 
2.-                           (Ley conmutativa del producto escalar)
3.- (Ley distributiva del producto escalar)
4.- 

PRODUCTO ENTRE DOS MATRICES:
Supongaque B y C son matrices. Si el número de columnas de A y el número de filas de B son idénticas, las matrices pueden multiplicarse como:

Donde es una matriz que representa el resultado de la multiplicación. Los elementos de C están relacionados con los de A y B por:

Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B.Es decir: 
 

El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r, entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no...