Pedros

1. Demostraciones:
a)
cscvdv=lncscv-cotv+ ∁

csc v∙ cscv-cotvcscv-cotv dv= csc²v-csc(v)∙cot(v)cscv-cot(v)dv=

Cambio de variable

u =cscv-cot(v)du=-csc(v)∙cotv+csc²(v)dv
dv=ducsc²(v)-csc(v)∙cot(v)


csc²v-csc(v)∙cot(v)u ∙ducsc²(v)-csc(v)∙cot(v)=

duu= lnu+∁

Devolvemos el cambio

cscvdv=ln|cscv-cotv|+∁


b)

xn1-x² dx = -xn-11-x²+(n-1)xn-2 1-x²dx

=xn-1∙x1-x²dx






Por Partes

u=xn-1 dv=x1-x²dx

Cambio de variabledu=n-1xn-2 dx b=1-x2
db= -2xdx
-db2=xdx

dv=-12dbb

v=-12∙2b
Devolvemos el cambio
v=-1-x²

Entonces
xn-1∙x1-x²dx= xn-1∙-1-x2--1-x²∙n-1xn-2 dxPor lo tanto

xn1-x² dx = -xn-1 1-x²+(n-1)xn-2 1-x²dx

2. Resolver.
a.
x∙4-xdx

Por Partes

u=x dv=4-xdx
du=dxv=-4-xln4

Entonces

x∙4-xdx=x∙-4-xln4--4-xln4dx

x∙4-xdx= -xln4∙4x+1ln4∙-1ln4∙4x+∁

x∙4-xdx= -xln4∙4x-14x(ln4)²+∁

b.
cosxsin²x-6 sinx-12dx

Cambio de variable
u=sinxdu=cosx dx
dx=ducosx

cosxu²-6u-12∙ducosx

duu²-6u-12

Fracciones simples
m.c.m=u-3-842u-3-842

1u2-6u-12=Au-3-842+Bu-3+8421=Au-3+842+Bu-3-842
u=3-842

1=A0+B(-84)
B=-184

u=3+842
1=A84+B(0)
A=184

Entonces
duu²-6u-12=184u-3-842+-184u-3+842du

=184duu-3-842-184duu-3+842=184lnu-3-842-184lnu-3+842+∁

Devolvemos el cambio
=184lnsinx-3-842-184lnsinx-3+842+∁

=184lnsinx-3-842sinx-3+842


3. Usando la suma de Riemann, hallar el área de la figura limitada pora) 3x+y=12, el eje x y las rectas x=1 y x=3

a,b=1,3 y=13-3x

∆x=b-an= 2n

xi=1+i∆x=1+2in

i=1nfxi∆x= i=1nf1+2in2n= 2ni=1n12-31+2in...