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Aplicaciones de la integral
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en lamatemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración sonprocesos inversos.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasarona ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, suempleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.

Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS :
Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar el caso en que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, y después el caso en que la región ladeterminan los gráficos de dos funciones en [a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no.

Área de una región determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox
La función toma valores positivos en todo [a,b].Sea una función f (x) definida en el intervalo [a,b]. Si la función es no negativa en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo x∈[a,b] , entonces el valor de laintegral definida de f (x) entre a y b.
Sea a∫ f x dx , es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje Ox entre las líneas verticales determinadas por x = a y x = b , tal como se muestra en la figura. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúa por encima del eje Ox , en la parte positiva del eje de ordenadas.

La función toma valores negativos en todo[a,b]
Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano que corresponde al eje de ordenadas negativo) entonces el valor de la integral a∫ f x dx es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de la integral con el eje Ox entre les líneas x = a y x = b . Con lo cual el área de la zona delimitada por la función con el eje Ox es a−∫ f x dxCaso generalEn general, si el área que se quiere calcular la delimita, con el eje Ox y x = a y x = b ,
la gráfica de una función f (x) cuyo signo a lo largo del intervalo [a, b] pasa de positivo a negativo, o al contrario, habrá que tenerlo en cuenta y hacer el cálculo del área total sumando las áreas parciales calculadas en los intervalos de signo constante.

Área determinada por los gráficos dedos funciones en [a,b].
Las gráficas de las funciones no se cortan en [a, b].Dadas dos funciones f (x) y g(x) , para calcular el área determinada por sus gráficas entre las líneas verticales x = a y x = b bastará calcular las áreas determinadas por cada gráfica con el eje Ox, entre x = a y x = b , y después restar o sumar dichasáreas según sea la situación.Consideremos en primer lugar el caso...