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Capítulo 7

Ecuación de la recta
Vamos a ver que, si a y b son dos números reales, el gráfico de la función f (x) = ax + b es una recta. Si a = 0 entonces f (x) = b es la función constante: su gráfico, (figura 7.1) es una recta paralela al eje x.

b 0

Una función constante

Figura 7.1
Supongamos a = 0 y b = 0, entonces el gráfico de f (x) = ax es una recta que pasa por (0; 0), como en lafigura 7.2, pues basta observar que: Si x = 0;

6

6

(x; y) 2

recta

y () x = tan  = a

y α x

Una recta por el origen

Figura 7.2
El número a = tan  se llama la pendiente de la recta. Si a = 0 y b = 0 entonces el gráfico de f (x) = ax + b es una recta paralela a la anterior que pasa por el punto (0; b), como en la figura 7.3. Diremos que la ecuación y = ax + b es la ecuación de unarecta, o que la recta es el lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen la ecuación. Esto significa que un punto P de coordenadas (x0 ; y0 ), está en la recta, si y sólo si sus coordenadas satisfacen la igualdad: y0 = ax0 + b. En la ecuación y = ax+b aparece la y «despejada». En general, una ecuación lineal Ax+By +C = 0, donde A y B no son nulas simultaneamente, representa una recta,porque si B = 0, despejando y

6

6

A C A obtenemos y = B x B , que es la recta de pendiente B . Si B = 0 y A 6= 0 la ecuación Ax + C = 0 C. representa la recta paralela al eje y por el punto A  diremos que tiene «pendiente infiEn una recta vertical, es decir donde el ángulo ángulo  es 2

6

nita». Esta recta vertical no es el gráfico de ninguna función, (figura 7.4). Por esta razón espreferible

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y

Ecuación de la recta
y=ax+b b y=ax

b α

ax

Recta con pendiente a, que corta el eje de las ordenadas (eje y ) en el punto (0; b)

tan α = a

x

Figura 7.3

α -C/A

Recta vertical

Figura 7.4
pensar en términos de «ecuación de la recta» o de «lugar geométrico» como un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación, en vez de pensar entérminos de gráficos (de funciones). Obtenemos así todas las rectas del plano, incluso las verticales.

7.1 Geometría Analítica: método de las coordenadas
El introducir coordenadas en el plano, y caracterizar conjuntos de puntos como curvas o regiones mediante ecuaciones, nos permite estudiar las propiedades geométricas de esos conjuntos, usando para ello las propiedades de las ecuaciones que lasrepresentan. Este método se llama Geometría Analítica, y fue propuesto independientemente por Pierre Fermat (1601- 1665) y por René Descartes (1596-1650). No es realmente una nueva geometría sino un método para estudiar geometría. Vamos a comenzar estudiando las rectas y circunferencias en el plano. El primer problema es encontrar la ecuación de una recta que tiene ciertas propiedades o restricciones.7.2 Ecuación de una recta que pasa por un punto P
Si el punto P tiene coordenadas (x0 ; y0 ) y la recta y = ax + b tiene que pasar por coordenadas (x0 ; y0 ) deben satisfacer la ecuación, es decir y0 = ax0 + b. Eliminando b de las ecuaciones, esto es, restando miembro a miembro

P , entonces las

y = ax + b y0 = ax0 + b obtenemos y y0 = a(x x0 ) , que es la ecuación general de la recta quepasa por P , (figura 7.5). Observe que si la recta no es vertical, es decir x x 0 6= 0 entonces podemos dividir por x x 0 y y y0 obtenemos que a = x x0 es la pendiente de la recta.

7.3 Recta que pasa por dos puntos

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y y0 P

x0

x

Recta por un punto P (x0 ; y0 )

Figura 7.5
Por supuesto que hay infinitas rectas que pasan por P . Cada valor arbitrario que demos a la pendiente a,determina una recta por P . Observación Interesante: El número de rectas que pasa por un punto P es infinito. La pendiente, el número a, da una biyección entre R y todas las rectas no verticales por P . Hay entonces un «continuo» de rectas por P , pero las propiedades «geométricas» de este continuo difieren de las de R, puesto que existe una recta vertical. Si trazamos una circunferencia de...