pend kater

Universidad Favaloro

Facultad de Ingeniería y Ciencias Exactas y
Naturales

Péndulo reversible de Kater
Autores
Elizabeth Aballay
elizabethaballay@hotmail.com

Eduardo Avilés
dagored@sion.com

Laboratorio de Física I - 2° Año - Universidad Favaloro - 2002

Resumen
Se estudia el movimiento de un péndulo reversible de Kater , basada en un péndulo físico de masa constante que puede
oscilaralrededor de dos puntos de suspensión O y O´. Aplicando las leyes de rotación de sólidos rígidos a los sistemas
oscilantes con pequeñas amplitudes, es posible explicar la relación de la distribución de masa para la cual los períodos de
oscilación respecto de los puntos O y O´ sean iguales. Al organizar los datos experimentales, se verifica lo anterior, a través
del análisis grafico.

Introducción
Existenvarias realizaciones del “péndulo reversible”, inventado por Henry Kater en 1815. Todos ellos se basan en un
péndulo físico (típicamente una barra) que puede oscilar alrededor de cualquiera de dos puntos de suspensión O y O’, como
se ilustra esquemáticamente en la Figura 1. Lo que se busca es una distribución de masa para la cual los períodos de
oscilación respecto de los puntos de suspensión O yO’sean iguales. Esto se consigue ajustando la posición de las masa M1
y M2 , lo que cambia el momento de inercia del péndulo respecto al eje de giro. Una posible realización de este péndulo
se muestra esquemáticamente en la parte derecha de la figura 1.

M2
z
O
X
L

M1
y
O´

Figura 1: Péndulo reversible de Kater. Este péndulo puede oscilar de cualquiera de los puntos de suspensión O y O’. Laseparación entre ambos, L, es fija y conocida. Consta además de dos masas de posición variables, M1 y M2. La primera
permite una variación gruesa de la distribución de masas y por ende de los períodos respecto de O y O’. La segunda masa
(la menor) sirve para realizar un ajuste fino de los períodos.

Péndulo Kater – E. Aballay – E. Avilés UF 2002

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Facultad de Ingeniería yCiencias Exactas y
Naturales

La distancia entre los puntos de suspensión es fija y conocida, L. Si llamamos K al radio de giro del péndulo respecto de su
centro de masa y designamos por a y a’ las distancias del centro de masa a punto de suspensión O y O’ respectivamente,
tenemos que los períodos del péndulo respecto de estos dos puntos de suspensión serán, respectivamente:

K 2 + a2
T = 2π
g ⋅a

(1)y:

T ´= 2π
con:

K 2 + a´ 2
g ⋅ a´

L = a + a´

(2)

(3)

Si, variando la distribución de masas (ubicación de M1 y M2 ), logramos que estos
dos períodos se igualen, entonces tenemos que:

K 2 = a ⋅ a´

(4)

y, por lo tanto:

Tcomun = 2π

L
g

(5)

Para el caso de una barra uniforme, los períodos serán iguales cuando las distancias X1 y X2 de los puntos de
suspensión al centro de masa cumplan lasexpresiones, según la siguiente deducción:

Deducción teórica
Deduciremos para el péndulo como el que graficamos en la Figura 1, la relación que cumplen las distancias X1 y X2 de los
puntos de suspensión al centro de masa en una barra uniforme, cuando sus períodos T y T´ con la longitud L de la varilla,
para pequeñas amplitudes de oscilación (aproximadamente para ángulos menores a 10º) soniguales.
El momento de inercia de una varilla que gira sobre su centro de masa es:

Ι0 =

1
ML2
12

(6)

pero en nuestro caso gira a una distancia X entonces:

I (x ) =


 L2
1
ML2 + MX 2 = M 
+ X 2 
12

 12

(7)

El período para un péndulo físico esta dado por:

Péndulo Kater – E. Aballay – E. Avilés UF 2002

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Naturales

 L2
M 
+ X 2 
I (x )
 12

T = 2π
= 2π
mgd
MgX

(8)

elevando ambos miembros al cuadrado:

 L2

+ X 2 
M 
 12

= 4π 2
T 2 = 4π 2
MgX
Si

X´=

 L2


+ X 2 
 12

gX

L
− δ con δ =0, entonces:
2
T 2 = 4π 2

 2L 
1 L2
= 4π 2  
3 L
 3g 
g
2

Igualo T´(X´)=T(X)

T´ 2 (X ´) = T 2 (X )
entonces:

 L2

+ X2


2
L
 = 4π 2  12
4π 2 
 g⋅X
3 g


2
2
L
LX =
+X2
3
12
2...