Pendiente de la Recta Tangente a una función

Pendiente de la
Recta Tangente a
una función en un
punto.  

Definición de tangente a
una curva en un punto


La tangente a una curva en un punto se
define como el limite de las posiciones de
una RECTA SECANTE, cuando uno de los
puntos
de
intersección
tiende
a
confundirse con el otro.

Definición de tangente a
una curva en un punto


Sea una SECANTE que pase por los puntos
P( x, y) yQ(x+∆x, y+∆y) de la curva y= f(x); si
el punto Q se aproxima indefinidamente a P, la
secante se acerca a la posición de la recta
tangente a la curva en el punto P.

Interpretación geométrica de la
derivada
En la figura anterior se tiene una curva representada por la función y=f(x), el punto
P(x, y) de dicha curva; El ángulo θ que es la inclinación de la tangente en P; El ángulo
α que es la inclinación dela secante y que pasa por los puntos Q y P de la curva. Por
definición tenemos que:
La pendiente de la secante PQ = Δx = m Sec
Δy
La función tangente se define como la razón del cateto opuesto entre el cateto
adyacente es decir:
tg α = OPUESTO = Δx = M Sec
ADYACENTE
Δy
El punto P (x, y) es fijo en la curva, el punto Q ( x + Δx ,y + Δy) es móvil y se acerca a
P, es decir
Δx
0, por lo tanto:
Lím =Δx = Lím tg α = tg θ
Δy
Δx
0
Δx
0

Lo anterior se define como la pendiente de la tangente en el punto P;
Es decir:
M= tg θ
Por definición de derivada, resulta:
f´ (x) = dy = m = tgθ
dx
« El valor de la derivada de una función en un punto P (x,y) se
representa geométricamente por la pendiente de la tangente a la
curva en ese punto»

NOTA: Este estudio de las tangentes condujo a GOTTFRIED WILHELMEjemplos demostrativos para
calcular la pendiente de una
curva en un punto

  Hallar la pendiente y la inclinación de la tangente
1.
para las siguientes curvas en el punto cuya abscisa se
indica; verificar el resultado trazando la gráfica
correspondiente.

 

y’=
 

 

}

PENDIENTE  

 
ÁNGULO DE
INCLINACIÓN

 

Para graficar:
x

y

0

3

1

-2

2

-5

3

-6

4

-5

-1

10

-2

19

-3

30Determina
 

la ecuación de la recta tangente a las
siguientes curvas en el punto dado; construir la
grafica correspondiente.
1.- Y= P(9,3)
()= =

 

Y`= m= =

 

La  ecuación

de la recta se determina

(

 

Para graficar:

Ecuación de la
tangente

En las siguientes curvas, hallar los puntos de tangencia, la ecuación de la recta tangente que sea paralela a las rectas dadas;
construir la respectivagráfica.
1.- y= x3 ;recta paralela 3x – y + 1 = 0
Y2 = d(x3) = 3x3-1 = 3x2
y1 = m = 3x2
dx
Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales; por lo tanto la pendiente de la recta 3x – y + 1 = 0, es:
m = -A } Fórmula para determinar la pendiente de la ecuación de la recta en su forma general
B
m = -3 = 3
-1
Al sustituir el valor de la pendiente en la derivada, se tiene que:
y1 = m = 3x2y como m = 3
3 = 3x2
x2 = 3
3
x =+1
Para determinar los puntos de Tangencia, se sustituye el valor de “x” en la ecuación de la curva y = x 3, resultado:
Para x = 1
Para x = -1
y = (1)3 = 1
y = (-1)3 = -1
Los puntos de tangencia son: P(1, 1) y P 1 (-1, -1)

Con los puntos de tangencia y la pendiente de la ecuación de la
recta paralela
(m = 3), se puede determinar la ecuación de la recta tangente ala
curva dada.
y – y1 = m (x – x1)
y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = 3 (x – 1)
y - 1 = 3x – 3
3x – y – 3 + 1 = 0

y – (-1) = 3 [ x – ( -1) ]
y + 1 = 3x + 3
3x – y + 3 – 1 = 0

3x –y -2 = 0 } Ecuación de la tangente { 3x –y + 2
=0

En el siguiente problema hallar:
A) las coordenadas de los puntos de intersección del par de curvas dado.
B) La pendiente y el ángulo de inclinación de la tangente a cadacurva.
C) El ángulo formado por las tangentes en cada punto de intersección.
1. y= 1-x3
Y= x3-1
A) Resolviendo el sistema dado, tenemos:
1. y= 12. y= x3-1
x₃-1=1- x3
2 x3=2
x3=2/2
x3= 1
Por lo tanto: x=1
Sustituyendo en cualquiera de las situaciones, resulta:
1.- y= 1- (1)3
y=0
2.- y= (1)3 -1

Sustituyendo en cualquiera de las situaciones, resulta:
1.- y= 1- (1)3
y=0
2.- y= (1)3 -1
y=0
B)...