Pendulo Invertido

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

TRABAJO DE CONTROL MODERNO

PÉNDULO INVERTIDO

Integrantes: Garzón Juan Sánchez David

2011-2012
INTRODUCCIÓN
Básicamente el péndulo invertido, consiste en un péndulo acoplado a un carro el cual es impulsado por una fuerza de control; el péndulo puede girar libremente alrededor de su pivote describiendo una trayectoria circular, mientras que elcarro tendrá un desplazamiento lineal restringido tan solo por su longitud de la región de movimiento.
Condiciones del problema y requerimientos de diseño
El carrito con un péndulo invertido, se muestra abajo, es "empujado" con una fuerza impulsiva, F. Determinemos las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema, y linealicemos cerca del ángulo del péndulo, theta = Pi (en otras palabras,asumamos que péndulo no se aparta más que unos pocos grados de la vertical, elegida en un ángulo de Pi). Encontremos un controlador para satisfacer todos los requerimientos de diseño dados arriba.

Para este ejemplo, asumamos que
M | masa del carro | 0.5 kg |
m | masa del péndulo | 0.2 kg |
b | fricción del carro | 0.1 N/m/seg |
l | longitud al centro de masa del péndulo | 0.3 m |
I |inercia del péndulo | 0.006 kg*m^2 |
F | fuerza aplicada al carro | |
x | coordenadas de posición del carro | |
theta | ángulo del péndulo respecto de la vertical | |
| | |
Análisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones
Abajo figuran los dos diagramas de cuerpo libre del sistema.

Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene lasiguiente ecuación del movimiento:

Note que también puede sumar las fuerzas en la dirección vertical, pero no se ganará ninguna información útil.
Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, puede obtener la ecuación para N:

Si sustituye esta ecuación en la primera ecuación, se obtiene la primera ecuación del movimiento de este sistema:
(1) ||
Para obtener la segunda ecuación de movimiento, sume las fuerzas perpendiculares al péndulo. Si resuelve el sistema a lo largo de este eje se ahorrará un montón de álgebra. Debería obtener la siguiente ecuación:

Para librarse de los términos P y N en la ecuación anterior, sume los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:

Combinando estas dos últimasecuaciones, se obtiene la segunda ecuación dinámica:
(2) | |
Este conjunto de ecuaciones debería ser linealizado alrededor de theta = Pi. Asuma que theta = Pi + ø(ø representa un pequeño ángulo en la dirección vertical). Por lo tanto, cos(theta) = -1, sin(theta) = -ø, y (d(theta)/dt)^2 =0. Luego de la linealización las dos ecuaciones de movimiento serán:

(donde u representa la entrada)
1.Función de Transferencia
Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado, debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Las transformadas de Laplace son:

NOTE: Cuando se halla la función de transferencia se considera condiciones iniciales nulas.
Como como estamos mirando al ángulo Phi como la salida de interés,resuelva la primera ecuación para X(s),

y entonces sustitúyala en la segunda ecuación:

Re ordenando, la función de transferencia es:

donde,

De la función de transferencia de arriba puede verse que hay un polo y un cero en el origen. Estos puede ser cancelados y la función de transferencia será:

Φ(s)U(s)=4.545ss3+0.1818s2-31.18s-4.455
2. Espacio de Estado
Luego de un poco deálgebra, las linealizadas ecuaciones del sistema pueden también representarse en la forma espacio de estado:

xxΦΦ=00001-0.18180-0.454502.2727031.18180010xxΦΦ+01.818204.5455u
y=10000010xxΦΦ+00
La matriz C es de 2 por 4, porque la posición del carro y la posición del péndulo son parte de la salida. Para el problema de diseño en espacio de estado estaremos controlando un sistema de salida múltiple...