Pendulo simple (demostracion)
Sabemos que todo arco es igual al ángulo por su radio. En este caso, el ángulo es θ y el radio L.
s = θ L
Esta ecuación nos da el arco recorrido por la masapara un ángulo dado. Es nuestra ecuación de posición en el movimiento del péndulo. A partir de ahí buscamos la ecuación de la velocidad lineal, la derivada de la posición respecto al tiempo:
v =ds/dt = L dθ/dt (la longitud L del péndulo es constante)
Y de aquí, derivando otra vez respecto al tiempo, deducimos la aceleración tangencial:
a = dv/dt = L d²θ/dt²
Esa es la ecuación de laaceleración tangencial de la masa que está en el extremo del péndulo. Pero, por otra parte, sabemos que esa masa se mueve gracias a una fuerza que actúa sobre ella. Esa fuerza es su propio peso, omejor dicho, la componente del peso tangencial al arco. Esto es:
F = – m g sen θ
Es decir, tenemos dos expresiones de la misma aceleración que deben coincidir:
a = L d²θ/dt² y a = – g sen θL d²θ/dt² = – g sen θ ----------> [1]
Pero además, el valor en el tiempo del ángulo del péndulo se ajusta al de las oscilaciones armónicas y sabemos que la ecuación de posición en los M.A.S. es:θ = θo sen(ω t + φ) ---------> [2]
Derivando 2 veces respecto al tiempo:
θ'' = d²θ/dt² = – ω² θo sen(ω t + φ)
y viendo en [2] que θo sen(ω t + φ) = θ
d²θ/dt² = – ω² θ
Sustituyendo estevalor en [1]:
L (– ω² θ) = – g sen θ
Y ahora viene una aproximación que se aplica normalmente a los péndulos cuando hablamos de ángulos pequeños :
sen θ ≈ θ
L (– ω² θ) = – g sen θ = – gθ
ω² = g/L
ω = √ (g/L)
Pero el periodo T es, por definición, el tiempo que se tarda en recorrer un ciclo completo (2 π) con la velocidad angular ω. Luego:
► T = 2 π / ω = 2 π / √...
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