Pendulo Simple

Departamento de Física Aplicada Universidad de Castilla-La Mancha Escuela Técnica Superior Ing. Agrónomos

PRÁCTICA 6: PÉNDULO FÍSICO Y MOMENTOS DE INERCIA

Materiales
* Varilla delgada con orificios practicados a intervalos regulares. * Soporte. * Tramo de varilla corto adaptable a la varilla delgada. * Cronómetro.

1. Fundamento
Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitrariaque puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. En la figura 1 se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeñoespesor utilizado como péndulo físico.

-1-

O

d

θ
c.m. mg

Figura 1. Sólido plano empleado como péndulo físico. El punto de suspensión es O, su centro de masas es c.m., y la distancia entre ambos se representa por d. En la posición indicada, formando un ángulo θ con la vertical, el peso produce respecto a O un momento que se opone al aumento del ángulo.

Se producen oscilacionescomo consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensión O es:

τ =d×m⋅g

(1)

donde d es la distancia entre c.m. y el punto de suspensión y m es la masa del cuerpo. Elmódulo de este momento puede escribirse como: (2) τ = - mgd ⋅ sen θ El signo negativo indica que se trata de un momento recuperador, es decir, actuando en sentido opuesto a las variaciones angulares. Este momento puede relacionarse por medio de la ecuación fundamental de la dinámica de rotación con la aceleración angular α del péndulo y su momento de inercia I respecto al punto de suspensión. En formaescalar la relación es:

τ = I ⋅α
Teniendo en cuenta la ecuación (2), esto puede escribirse como:

(3)

Péndulo físico y momentos de inercia

-2-

I ⋅ α + mgd ⋅ sen θ = 0

(4)

La aceleración angular α es la derivada segunda del ángulo θ respecto al tiempo. En el caso (frecuente) de oscilaciones de pequeña amplitud, en las que se verifica que sen α ≈ α, la ecuación (4) puedereescribirse como una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde a un movimiento armónico simple:
d 2θ mgd ⋅θ = 0 2 + dt I La frecuencia angular de este M.A.S. es: ω = Y su periodo de oscilación vale:
T = 2π I mgd

(5)

mgd I

(6)

(7)

Oscilaciones de una varilla delgada

Una varilla delgada en forma de paralelepípedo, larga en comparación con su anchura y grosor, puedeutilizarse como péndulo físico para realizar medidas de periodos o de momentos de inercia. Aquí consideraremos una varilla homogénea como la mostrada en la figura 2. en la que se han practicado pequeños orificios a lo largo de su eje de simetría a intervalos regulares. Estos orificios sirven como puntos de suspensión.
y y a

L

(c.m.)

d L

(a)

(b)

Figura 2. Varilla delgada de longitud L.(a) Vista frontal. Los agujeros para su suspensión se han practicado a intervalos regulares y. (b) Vista lateral. La distancia entre el punto de suspensión y el extremo superior es a. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. es d.

Péndulo físico y momentos de inercia

-3-

Se puede demostrar fácilmente que el periodo teórico de una varilla suspendida en la forma indicada en lafigura 2 oscilando con pequeñas amplitudes está dada por:
Τ = 2π  1  L2 + d  g  12d  (8)

Esto puede escribirse en forma similar a la ecuación que nos da el periodo de un péndulo simple: Τ = 2π
donde hemos llamado  L2  k = + d  12d 
Momentos de inercia

k g

(9)

(10)

El momento de inercia de una varilla delgada con respecto a un eje perpendicular que 2. pase por su...