Pendulo Simple

INGENIER´ QU´
IA
IMICA
er
1 curso

FUNDAMENTOS F´
ISICOS DE LA INGENIER´
IA

´
PRACTICA 3

´
ESTUDIO DEL PENDULO
SIMPLE

Departamento de F´
ısica Aplicada
Escuela Polit´cnica Superior de la R´bida.
e
a

1

I II. P´ndulo simple
e
1. Objetivos
– Estudiar la dependencia entre el periodo de oscilaci´n y:
o
(a) la amplitud del movimiento.
(b) la masa del p´ndulo.
e(c) la longitud del p´ndulo.
e
– Medir el valor de la aceleraci´n de la gravedad.
o

2. Fundamento te´rico
o
Un p´ndulo es un sistema material que consiste en un hilo de longitud L y masa M , suspendido verticalmente
e
por uno de sus extremos y del que pende, por el extremo opuesto, una masa m. Un caso particular es el
denominado p´ndulo simple. Un p´ndulo se dice que es simple bajo lossiguientes supuestos:
e
e
– El hilo es inextensible (no se alarga ni se comprime su longitud durante el movimiento) y su masa es
despreciable frente a m (por lo que consideramos M = 0).
– Las dimensiones de m son despreciables frente a la longitud del hilo, por lo que se considera que m es
puntual.
El p´ndulo simple, por tanto, es un modelo idealizado (simplificado) de un sistema m´s complejo.La
e
a
situaci´n de equilibrio corresponde a la posici´n vertical, posici´n en la que la tensi´n de la cuerda es igual
o
o
o
o
al peso. Si separamos el sistema de su posici´n de equilibrio un cierto angulo φ 0 y soltamos el p´ndulo (con
o
´
e
velocidad inicial nula), el sistema describe un movimiento peri´dico. Suele utilizarse la coordenada angular
o
φ para fijar la posici´n delp´ndulo en cualquier instante (dicho angulo se mide respecto a la posici´n de
o
e
´
o
equilibrio), por lo que si bien φ depende del tiempo, se verifica que en cualquier instante |φ| ≤ φ 0 . Si la
resistencia con el aire fuera despreciable y si en el punto O de suspensi´n el rozamiento con el hilo fuera
o
despreciable, la amplitud del movimiento (m´xima separaci´n angular respecto a la posici´nde equilibrio)
a
o
o
no variar´ durante el movimiento y ser´ igual al valor inicial φ 0 .
ıa
ıa
Analicemos el movimiento del p´ndulo. Las dos unicas fuerzas que act´an son la tensi´n y el peso.
e
´
u
o
Aplicando la segunda ley de Newton y usando los ejes normal y tangencial para descomponer los vectores,
se tiene que:
T − mg cos φ

−mg sen φ

=

man

(1)

=

mat

(2)donde at y an corresponden a las componentes tangencial y normal de la aceleraci´n. Dado que m describe
o
un arco de circunferencia de radio l y, recordando que la aceleraci´n tangencial es la aceleraci´n angular (α)
o
o
por el radio, la ecuaci´n (2) equivale a:
o
g
α = − sen φ
(3)
l
Recordemos que un cuerpo realiza un movimiento arm´nico simple (MAS) si la aceleraci´n es proporcionalo
o
(y de signo contrario) a la correspondiente coordenada que determina la posici´n:
o
aceleracion = −ω 2 × posicion

(4)

donde ω es una constante caracter´
ıstica del MAS denominada frecuencia angular del movimiento. Seg´n
u
(3), el p´ndulo no realiza un MAS, ya que la aceleraci´n angular no es proporcional al angulo, sino al seno
e
o
´
del angulo. Sin embargo, si φ essuficientemente peque˜o, se verifica la aproximaci´n sen φ ≈ φ (donde φ
´
n
o

2

debe ir expresado en radianes). Cuando esta aproximaci´n es v´lida, se dice que el p´ndulo se encuentra en
o
a
e
el l´
ımite de peque˜as oscilaciones.1 En dicha situaci´n, se verifica entonces:
n
o
g
α=− φ
l

(5)

Por tanto, dentro del l´
ımite de peque˜ as oscilaciones, el p´ndulo simple describe (aproxine
madamente) un MAS. Seg´n la expresi´n (5), la frecuencia angular del movimiento viene dada por:
u
o
ω2 =

g
l

=⇒

ω=

g
l

(6)

y el periodo de las oscilaciones:
T=

2π
ω

=⇒

T = 2π

l
g

(7)

Por tanto, el periodo de las oscilaciones de un p´ndulo simple s´lo depende de la longitud del hilo y del
e
o
valor local de la aceleraci´n de la gravedadr, T = T...